Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108270 / 101690
↖ ↑ ↗
← S 69.954792°
E117.372437°		 ← 104.69 m → S 69.954792°
E117.375183°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
S 69.955733°
E117.372437°		 ← 104.68 m →
10 958 m²		 S 69.955733°
E117.375183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826038360595703 y=0.775836944580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826038360595703 × 217)
    floor (0.826038360595703 × 131072)
    floor (108270.5)     		tx = 108270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775836944580078 × 217)
    floor (0.775836944580078 × 131072)
    floor (101690.5)     		ty = 101690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108270 / 101690 ti = "17/108270/101690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108270/101690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108270 ÷ 217
    108270 ÷ 131072     		x = 0.826034545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101690 ÷ 217
    101690 ÷ 131072     		y = 0.775833129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826034545898438 × 2 - 1) × π
    0.652069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04853547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775833129882812 × 2 - 1) × π
    -0.551666259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73311066886351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04853547} λ = 2.04853547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73311066886351))-π/2
    2×atan(0.176733793712215)-π/2
    2×0.174927443823356-π/2
    0.349854887646713-1.57079632675     		φ = -1.22094144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04853547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.372437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22094144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.954792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108270 KachelY 101690 2.04853547 -1.22094144 117.372437 -69.954792
    Oben rechts KachelX + 1 108271 KachelY 101690 2.04858341 -1.22094144 117.375183 -69.954792
    Unten links KachelX 108270 KachelY + 1 101691 2.04853547 -1.22095787 117.372437 -69.955733
    Unten rechts KachelX + 1 108271 KachelY + 1 101691 2.04858341 -1.22095787 117.375183 -69.955733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22094144--1.22095787) × R
    1.64299999998452e-05 × 6371000     		dl = 104.675529999014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22094144--1.22095787) × R
    1.64299999998452e-05 × 6371000     		dr = 104.675529999014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04853547-2.04858341) × cos(-1.22094144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342761488460438 × 6371000     		do = 104.688181256462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04853547-2.04858341) × cos(-1.22095787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342746053703125 × 6371000     		du = 104.683467084288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22094144)-sin(-1.22095787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342761488460438-0.342746053703125)×R²
    abs(2.04858341-2.04853547)×1.54347573124713e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54347573124713e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54347573124713e-05×40589641000000     		ar = 10958.0441285031m²