Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10827 / 4650
↖ ↑ ↗
← N 82.277954°
W120.525513°		 ← 82.07 m → N 82.277954°
W120.520020°		 →
↑
82.06 m
↓
↑
82.06 m
↓
N 82.277216°
W120.525513°		 ← 82.08 m →
6 735 m²		 N 82.277216°
W120.520020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165214538574219 y=0.0709609985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165214538574219 × 216)
    floor (0.165214538574219 × 65536)
    floor (10827.5)     		tx = 10827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0709609985351562 × 216)
    floor (0.0709609985351562 × 65536)
    floor (4650.5)     		ty = 4650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10827 / 4650 ti = "16/10827/4650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10827/4650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10827 ÷ 216
    10827 ÷ 65536     		x = 0.165206909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4650 ÷ 216
    4650 ÷ 65536     		y = 0.070953369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165206909179688 × 2 - 1) × π
    -0.669586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10356703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.070953369140625 × 2 - 1) × π
    0.85809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.69577948703348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10356703} λ = -2.10356703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69577948703348))-π/2
    2×atan(14.8170639622656)-π/2
    2×1.50340876273405-π/2
    3.00681752546811-1.57079632675     		φ = 1.43602120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10356703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.525513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43602120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.277954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10827 KachelY 4650 -2.10356703 1.43602120 -120.525513 82.277954
    Oben rechts KachelX + 1 10828 KachelY 4650 -2.10347116 1.43602120 -120.520020 82.277954
    Unten links KachelX 10827 KachelY + 1 4651 -2.10356703 1.43600832 -120.525513 82.277216
    Unten rechts KachelX + 1 10828 KachelY + 1 4651 -2.10347116 1.43600832 -120.520020 82.277216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43602120-1.43600832) × R
    1.28800000001039e-05 × 6371000     		dl = 82.0584800006621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43602120-1.43600832) × R
    1.28800000001039e-05 × 6371000     		dr = 82.0584800006621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10356703--2.10347116) × cos(1.43602120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134367480447958 × 6371000     		do = 82.0700137433253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10356703--2.10347116) × cos(1.43600832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134380243635459 × 6371000     		du = 82.0778093421568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43602120)-sin(1.43600832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134367480447958-0.134380243635459)×R²
    abs(-2.10347116--2.10356703)×1.27631875004863e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27631875004863e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27631875004863e-05×40589641000000     		ar = 6734.86042906821m²