Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10827 / 4411
↖ ↑ ↗
← N 82.452373°
W120.525513°		 ← 80.23 m → N 82.452373°
W120.520020°		 →
↑
80.27 m
↓
↑
80.27 m
↓
N 82.451651°
W120.525513°		 ← 80.23 m →
6 441 m²		 N 82.451651°
W120.520020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165214538574219 y=0.0673141479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165214538574219 × 216)
    floor (0.165214538574219 × 65536)
    floor (10827.5)     		tx = 10827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0673141479492188 × 216)
    floor (0.0673141479492188 × 65536)
    floor (4411.5)     		ty = 4411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10827 / 4411 ti = "16/10827/4411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10827/4411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10827 ÷ 216
    10827 ÷ 65536     		x = 0.165206909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4411 ÷ 216
    4411 ÷ 65536     		y = 0.0673065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165206909179688 × 2 - 1) × π
    -0.669586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10356703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0673065185546875 × 2 - 1) × π
    0.865386962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.71869332505186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10356703} λ = -2.10356703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.71869332505186))-π/2
    2×atan(15.1604994519657)-π/2
    2×1.50493085199087-π/2
    3.00986170398174-1.57079632675     		φ = 1.43906538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10356703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.525513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43906538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.452373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10827 KachelY 4411 -2.10356703 1.43906538 -120.525513 82.452373
    Oben rechts KachelX + 1 10828 KachelY 4411 -2.10347116 1.43906538 -120.520020 82.452373
    Unten links KachelX 10827 KachelY + 1 4412 -2.10356703 1.43905278 -120.525513 82.451651
    Unten rechts KachelX + 1 10828 KachelY + 1 4412 -2.10347116 1.43905278 -120.520020 82.451651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43906538-1.43905278) × R
    1.26000000000293e-05 × 6371000     		dl = 80.2746000001864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43906538-1.43905278) × R
    1.26000000000293e-05 × 6371000     		dr = 80.2746000001864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10356703--2.10347116) × cos(1.43906538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.131350288441128 × 6371000     		do = 80.2271497658117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10356703--2.10347116) × cos(1.43905278) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.131362779264535 × 6371000     		du = 80.2347790079861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43906538)-sin(1.43905278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131350288441128-0.131362779264535)×R²
    abs(-2.10347116--2.10356703)×1.24908234071797e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.24908234071797e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.24908234071797e-05×40589641000000     		ar = 6440.50857412258m²