Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108269 / 101689
↖ ↑ ↗
← S 69.953850°
E117.369690°		 ← 104.69 m → S 69.953850°
E117.372437°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
S 69.954792°
E117.369690°		 ← 104.69 m →
10 959 m²		 S 69.954792°
E117.372437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826030731201172 y=0.775829315185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826030731201172 × 217)
    floor (0.826030731201172 × 131072)
    floor (108269.5)     		tx = 108269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775829315185547 × 217)
    floor (0.775829315185547 × 131072)
    floor (101689.5)     		ty = 101689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108269 / 101689 ti = "17/108269/101689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108269/101689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108269 ÷ 217
    108269 ÷ 131072     		x = 0.826026916503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101689 ÷ 217
    101689 ÷ 131072     		y = 0.775825500488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826026916503906 × 2 - 1) × π
    0.652053833007812 × 3.1415926535     		Λ = 2.04848753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775825500488281 × 2 - 1) × π
    -0.551651000976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.73306273196389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04848753} λ = 2.04848753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73306273196389))-π/2
    2×atan(0.176742265985409)-π/2
    2×0.174935659469894-π/2
    0.349871318939789-1.57079632675     		φ = -1.22092501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04848753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.369690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22092501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.953850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108269 KachelY 101689 2.04848753 -1.22092501 117.369690 -69.953850
    Oben rechts KachelX + 1 108270 KachelY 101689 2.04853547 -1.22092501 117.372437 -69.953850
    Unten links KachelX 108269 KachelY + 1 101690 2.04848753 -1.22094144 117.369690 -69.954792
    Unten rechts KachelX + 1 108270 KachelY + 1 101690 2.04853547 -1.22094144 117.372437 -69.954792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22092501--1.22094144) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dl = 104.675530000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22092501--1.22094144) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dr = 104.675530000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04848753-2.04853547) × cos(-1.22092501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342776923125224 × 6371000     		do = 104.692895400376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04848753-2.04853547) × cos(-1.22094144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342761488460438 × 6371000     		du = 104.688181256462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22092501)-sin(-1.22094144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342776923125224-0.342761488460438)×R²
    abs(2.04853547-2.04848753)×1.54346647859849e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54346647859849e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54346647859849e-05×40589641000000     		ar = 10958.5375858408m²