Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108267 / 101700
↖ ↑ ↗
← S 69.964204°
E117.364197°		 ← 104.62 m → S 69.964204°
E117.366943°		 →
↑
104.61 m
↓
↑
104.61 m
↓
S 69.965144°
E117.364197°		 ← 104.61 m →
10 944 m²		 S 69.965144°
E117.366943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826015472412109 y=0.775913238525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826015472412109 × 217)
    floor (0.826015472412109 × 131072)
    floor (108267.5)     		tx = 108267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775913238525391 × 217)
    floor (0.775913238525391 × 131072)
    floor (101700.5)     		ty = 101700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108267 / 101700 ti = "17/108267/101700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108267/101700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108267 ÷ 217
    108267 ÷ 131072     		x = 0.826011657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101700 ÷ 217
    101700 ÷ 131072     		y = 0.775909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826011657714844 × 2 - 1) × π
    0.652023315429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.04839166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.55181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73359003785971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04839166} λ = 2.04839166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73359003785971))-π/2
    2×atan(0.176649093313923)-π/2
    2×0.174845307703772-π/2
    0.349690615407544-1.57079632675     		φ = -1.22110571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04839166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.364197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22110571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.964204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108267 KachelY 101700 2.04839166 -1.22110571 117.364197 -69.964204
    Oben rechts KachelX + 1 108268 KachelY 101700 2.04843959 -1.22110571 117.366943 -69.964204
    Unten links KachelX 108267 KachelY + 1 101701 2.04839166 -1.22112213 117.364197 -69.965144
    Unten rechts KachelX + 1 108268 KachelY + 1 101701 2.04843959 -1.22112213 117.366943 -69.965144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22110571--1.22112213) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dl = 104.611819999401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22110571--1.22112213) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dr = 104.611819999401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04839166-2.04843959) × cos(-1.22110571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34260716490866 × 6371000     		do = 104.619219369117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04839166-2.04843959) × cos(-1.22112213) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342591738621322 × 6371000     		du = 104.6145087667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22110571)-sin(-1.22112213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34260716490866-0.342591738621322)×R²
    abs(2.04843959-2.04839166)×1.54262873378053e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54262873378053e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54262873378053e-05×40589641000000     		ar = 10944.1605530582m²