Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108266 / 101701
↖ ↑ ↗
← S 69.965144°
E117.361450°		 ← 104.64 m → S 69.965144°
E117.364197°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
S 69.966086°
E117.361450°		 ← 104.63 m →
10 953 m²		 S 69.966086°
E117.364197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826007843017578 y=0.775920867919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826007843017578 × 217)
    floor (0.826007843017578 × 131072)
    floor (108266.5)     		tx = 108266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775920867919922 × 217)
    floor (0.775920867919922 × 131072)
    floor (101701.5)     		ty = 101701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108266 / 101701 ti = "17/108266/101701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108266/101701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108266 ÷ 217
    108266 ÷ 131072     		x = 0.826004028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101701 ÷ 217
    101701 ÷ 131072     		y = 0.775917053222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826004028320312 × 2 - 1) × π
    0.652008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04834372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775917053222656 × 2 - 1) × π
    -0.551834106445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.73363797475933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04834372} λ = 2.04834372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73363797475933))-π/2
    2×atan(0.176640625507031)-π/2
    2×0.174837096126075-π/2
    0.349674192252151-1.57079632675     		φ = -1.22112213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04834372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.361450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22112213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.965144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108266 KachelY 101701 2.04834372 -1.22112213 117.361450 -69.965144
    Oben rechts KachelX + 1 108267 KachelY 101701 2.04839166 -1.22112213 117.364197 -69.965144
    Unten links KachelX 108266 KachelY + 1 101702 2.04834372 -1.22113856 117.361450 -69.966086
    Unten rechts KachelX + 1 108267 KachelY + 1 101702 2.04839166 -1.22113856 117.364197 -69.966086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22112213--1.22113856) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dl = 104.675530000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22112213--1.22113856) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dr = 104.675530000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04834372-2.04839166) × cos(-1.22112213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342591738621322 × 6371000     		do = 104.636335286235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04834372-2.04839166) × cos(-1.22113856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342576302846716 × 6371000     		du = 104.631620803354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22112213)-sin(-1.22113856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342591738621322-0.342576302846716)×R²
    abs(2.04839166-2.04834372)×1.54357746064426e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54357746064426e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54357746064426e-05×40589641000000     		ar = 10952.6171081821m²