Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108264 / 100119
↖ ↑ ↗
← S 68.422424°
E117.355957°		 ← 112.30 m → S 68.422424°
E117.358703°		 →
↑
112.32 m
↓
↑
112.32 m
↓
S 68.423434°
E117.355957°		 ← 112.30 m →
12 613 m²		 S 68.423434°
E117.358703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825992584228516 y=0.763851165771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825992584228516 × 217)
    floor (0.825992584228516 × 131072)
    floor (108264.5)     		tx = 108264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763851165771484 × 217)
    floor (0.763851165771484 × 131072)
    floor (100119.5)     		ty = 100119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108264 / 100119 ti = "17/108264/100119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108264/100119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108264 ÷ 217
    108264 ÷ 131072     		x = 0.82598876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100119 ÷ 217
    100119 ÷ 131072     		y = 0.763847351074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82598876953125 × 2 - 1) × π
    0.6519775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04824785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763847351074219 × 2 - 1) × π
    -0.527694702148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.6578017995604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04824785} λ = 2.04824785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6578017995604))-π/2
    2×atan(0.190557403411829)-π/2
    2×0.188299873729109-π/2
    0.376599747458218-1.57079632675     		φ = -1.19419658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04824785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.355957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19419658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.422424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108264 KachelY 100119 2.04824785 -1.19419658 117.355957 -68.422424
    Oben rechts KachelX + 1 108265 KachelY 100119 2.04829578 -1.19419658 117.358703 -68.422424
    Unten links KachelX 108264 KachelY + 1 100120 2.04824785 -1.19421421 117.355957 -68.423434
    Unten rechts KachelX + 1 108265 KachelY + 1 100120 2.04829578 -1.19421421 117.358703 -68.423434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19419658--1.19421421) × R
    1.76299999998797e-05 × 6371000     		dl = 112.320729999233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19419658--1.19421421) × R
    1.76299999998797e-05 × 6371000     		dr = 112.320729999233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04824785-2.04829578) × cos(-1.19419658) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367760636356542 × 6371000     		do = 112.300134471994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04824785-2.04829578) × cos(-1.19421421) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367744241801183 × 6371000     		du = 112.295128197289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19419658)-sin(-1.19421421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367760636356542-0.367744241801183)×R²
    abs(2.04829578-2.04824785)×1.63945553588452e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63945553588452e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63945553588452e-05×40589641000000     		ar = 12613.3519291274m²