Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108263 / 100120
↖ ↑ ↗
← S 68.423434°
E117.353210°		 ← 112.32 m → S 68.423434°
E117.355957°		 →
↑
112.32 m
↓
↑
112.32 m
↓
S 68.424444°
E117.353210°		 ← 112.31 m →
12 615 m²		 S 68.424444°
E117.355957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825984954833984 y=0.763858795166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825984954833984 × 217)
    floor (0.825984954833984 × 131072)
    floor (108263.5)     		tx = 108263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763858795166016 × 217)
    floor (0.763858795166016 × 131072)
    floor (100120.5)     		ty = 100120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108263 / 100120 ti = "17/108263/100120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108263/100120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108263 ÷ 217
    108263 ÷ 131072     		x = 0.825981140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100120 ÷ 217
    100120 ÷ 131072     		y = 0.76385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825981140136719 × 2 - 1) × π
    0.651962280273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.04819991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76385498046875 × 2 - 1) × π
    -0.5277099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65784973646002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04819991} λ = 2.04819991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65784973646002))-π/2
    2×atan(0.190548268899651)-π/2
    2×0.188291059273205-π/2
    0.37658211854641-1.57079632675     		φ = -1.19421421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04819991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.353210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19421421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.423434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108263 KachelY 100120 2.04819991 -1.19421421 117.353210 -68.423434
    Oben rechts KachelX + 1 108264 KachelY 100120 2.04824785 -1.19421421 117.355957 -68.423434
    Unten links KachelX 108263 KachelY + 1 100121 2.04819991 -1.19423184 117.353210 -68.424444
    Unten rechts KachelX + 1 108264 KachelY + 1 100121 2.04824785 -1.19423184 117.355957 -68.424444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19421421--1.19423184) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dl = 112.320730000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19421421--1.19423184) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dr = 112.320730000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04819991-2.04824785) × cos(-1.19421421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367744241801183 × 6371000     		do = 112.318557182792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04819991-2.04824785) × cos(-1.19423184) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367727847131523 × 6371000     		du = 112.313549828679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19421421)-sin(-1.19423184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367744241801183-0.367727847131523)×R²
    abs(2.04824785-2.04819991)×1.63946696601913e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63946696601913e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63946696601913e-05×40589641000000     		ar = 12615.4211208368m²