Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108262 / 101537
↖ ↑ ↗
← S 69.810257°
E117.350464°		 ← 105.41 m → S 69.810257°
E117.353210°		 →
↑
105.38 m
↓
↑
105.38 m
↓
S 69.811204°
E117.350464°		 ← 105.41 m →
11 108 m²		 S 69.811204°
E117.353210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825977325439453 y=0.774669647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825977325439453 × 217)
    floor (0.825977325439453 × 131072)
    floor (108262.5)     		tx = 108262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774669647216797 × 217)
    floor (0.774669647216797 × 131072)
    floor (101537.5)     		ty = 101537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108262 / 101537 ti = "17/108262/101537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108262/101537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108262 ÷ 217
    108262 ÷ 131072     		x = 0.825973510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101537 ÷ 217
    101537 ÷ 131072     		y = 0.774665832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825973510742188 × 2 - 1) × π
    0.651947021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04815197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774665832519531 × 2 - 1) × π
    -0.549331665039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.72577632322164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04815197} λ = 2.04815197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72577632322164))-π/2
    2×atan(0.178034785571912)-π/2
    2×0.176188748345207-π/2
    0.352377496690413-1.57079632675     		φ = -1.21841883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04815197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.350464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21841883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.810257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108262 KachelY 101537 2.04815197 -1.21841883 117.350464 -69.810257
    Oben rechts KachelX + 1 108263 KachelY 101537 2.04819991 -1.21841883 117.353210 -69.810257
    Unten links KachelX 108262 KachelY + 1 101538 2.04815197 -1.21843537 117.350464 -69.811204
    Unten rechts KachelX + 1 108263 KachelY + 1 101538 2.04819991 -1.21843537 117.353210 -69.811204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21841883--1.21843537) × R
    1.65399999998428e-05 × 6371000     		dl = 105.376339998998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21841883--1.21843537) × R
    1.65399999998428e-05 × 6371000     		dr = 105.376339998998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04815197-2.04819991) × cos(-1.21841883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345130191852526 × 6371000     		do = 105.411644242831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04815197-2.04819991) × cos(-1.21843537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34511466810859 × 6371000     		du = 105.406902891851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21841883)-sin(-1.21843537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345130191852526-0.34511466810859)×R²
    abs(2.04819991-2.04815197)×1.55237439354861e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55237439354861e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55237439354861e-05×40589641000000     		ar = 11107.6434506571m²