Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108259 / 100131
↖ ↑ ↗
← S 68.434541°
E117.342224°		 ← 112.26 m → S 68.434541°
E117.344971°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
S 68.435551°
E117.342224°		 ← 112.26 m →
12 602 m²		 S 68.435551°
E117.344971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825954437255859 y=0.763942718505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825954437255859 × 217)
    floor (0.825954437255859 × 131072)
    floor (108259.5)     		tx = 108259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763942718505859 × 217)
    floor (0.763942718505859 × 131072)
    floor (100131.5)     		ty = 100131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108259 / 100131 ti = "17/108259/100131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108259/100131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108259 ÷ 217
    108259 ÷ 131072     		x = 0.825950622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100131 ÷ 217
    100131 ÷ 131072     		y = 0.763938903808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825950622558594 × 2 - 1) × π
    0.651901245117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.04800816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763938903808594 × 2 - 1) × π
    -0.527877807617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.65837704235584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04800816} λ = 2.04800816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65837704235584))-π/2
    2×atan(0.190447818160483)-π/2
    2×0.188194126187756-π/2
    0.376388252375512-1.57079632675     		φ = -1.19440807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04800816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.342224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19440807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.434541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108259 KachelY 100131 2.04800816 -1.19440807 117.342224 -68.434541
    Oben rechts KachelX + 1 108260 KachelY 100131 2.04805610 -1.19440807 117.344971 -68.434541
    Unten links KachelX 108259 KachelY + 1 100132 2.04800816 -1.19442569 117.342224 -68.435551
    Unten rechts KachelX + 1 108260 KachelY + 1 100132 2.04805610 -1.19442569 117.344971 -68.435551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19440807--1.19442569) × R
    1.76200000001625e-05 × 6371000     		dl = 112.257020001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19440807--1.19442569) × R
    1.76200000001625e-05 × 6371000     		dr = 112.257020001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04800816-2.04805610) × cos(-1.19440807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367563959249359 × 6371000     		do = 112.263494250992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04800816-2.04805610) × cos(-1.19442569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367547572623224 × 6371000     		du = 112.258489353578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19440807)-sin(-1.19442569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367563959249359-0.367547572623224)×R²
    abs(2.04805610-2.04800816)×1.63866261354562e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63866261354562e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63866261354562e-05×40589641000000     		ar = 12602.0844023315m²