Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108259 / 100129
↖ ↑ ↗
← S 68.432522°
E117.342224°		 ← 112.27 m → S 68.432522°
E117.344971°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
S 68.433532°
E117.342224°		 ← 112.27 m →
12 603 m²		 S 68.433532°
E117.344971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825954437255859 y=0.763927459716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825954437255859 × 217)
    floor (0.825954437255859 × 131072)
    floor (108259.5)     		tx = 108259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763927459716797 × 217)
    floor (0.763927459716797 × 131072)
    floor (100129.5)     		ty = 100129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108259 / 100129 ti = "17/108259/100129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108259/100129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108259 ÷ 217
    108259 ÷ 131072     		x = 0.825950622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100129 ÷ 217
    100129 ÷ 131072     		y = 0.763923645019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825950622558594 × 2 - 1) × π
    0.651901245117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.04800816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763923645019531 × 2 - 1) × π
    -0.527847290039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.6582811685566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04800816} λ = 2.04800816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6582811685566))-π/2
    2×atan(0.190466077991673)-π/2
    2×0.188211746849713-π/2
    0.376423493699426-1.57079632675     		φ = -1.19437283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04800816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.342224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19437283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.432522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108259 KachelY 100129 2.04800816 -1.19437283 117.342224 -68.432522
    Oben rechts KachelX + 1 108260 KachelY 100129 2.04805610 -1.19437283 117.344971 -68.432522
    Unten links KachelX 108259 KachelY + 1 100130 2.04800816 -1.19439045 117.342224 -68.433532
    Unten rechts KachelX + 1 108260 KachelY + 1 100130 2.04805610 -1.19439045 117.344971 -68.433532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19437283--1.19439045) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dl = 112.257019999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19437283--1.19439045) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dr = 112.257019999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04800816-2.04805610) × cos(-1.19437283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367596732159278 × 6371000     		do = 112.273503941256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04800816-2.04805610) × cos(-1.19439045) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367580345761379 × 6371000     		du = 112.268499113551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19437283)-sin(-1.19439045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367596732159278-0.367580345761379)×R²
    abs(2.04805610-2.04800816)×1.63863978991374e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63863978991374e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63863978991374e-05×40589641000000     		ar = 12603.2080641497m²