Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108250 / 47898
↖ ↑ ↗
← N 43.528638°
E117.317505°		 ← 221.44 m → N 43.528638°
E117.320252°		 →
↑
221.46 m
↓
↑
221.46 m
↓
N 43.526646°
E117.317505°		 ← 221.45 m →
49 041 m²		 N 43.526646°
E117.320252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825885772705078 y=0.365436553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825885772705078 × 217)
    floor (0.825885772705078 × 131072)
    floor (108250.5)     		tx = 108250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365436553955078 × 217)
    floor (0.365436553955078 × 131072)
    floor (47898.5)     		ty = 47898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108250 / 47898 ti = "17/108250/47898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108250/47898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108250 ÷ 217
    108250 ÷ 131072     		x = 0.825881958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47898 ÷ 217
    47898 ÷ 131072     		y = 0.365432739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825881958007812 × 2 - 1) × π
    0.651763916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04757673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365432739257812 × 2 - 1) × π
    0.269134521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.84551103549855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04757673} λ = 2.04757673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.84551103549855))-π/2
    2×atan(2.32916779790928)-π/2
    2×1.16525718806948-π/2
    2.33051437613895-1.57079632675     		φ = 0.75971805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04757673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.317505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75971805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.528638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108250 KachelY 47898 2.04757673 0.75971805 117.317505 43.528638
    Oben rechts KachelX + 1 108251 KachelY 47898 2.04762467 0.75971805 117.320252 43.528638
    Unten links KachelX 108250 KachelY + 1 47899 2.04757673 0.75968329 117.317505 43.526646
    Unten rechts KachelX + 1 108251 KachelY + 1 47899 2.04762467 0.75968329 117.320252 43.526646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75971805-0.75968329) × R
    3.47600000000226e-05 × 6371000     		dl = 221.455960000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75971805-0.75968329) × R
    3.47600000000226e-05 × 6371000     		dr = 221.455960000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04757673-2.04762467) × cos(0.75971805) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725030223329071 × 6371000     		do = 221.442892482501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04757673-2.04762467) × cos(0.75968329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72505416269572 × 6371000     		du = 221.450204181275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75971805)-sin(0.75968329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725030223329071-0.72505416269572)×R²
    abs(2.04762467-2.04757673)×2.39393666491283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39393666491283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39393666491283e-05×40589641000000     		ar = 49040.6579544153m²