Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10824 / 4664
↖ ↑ ↗
← N 82.267614°
W120.541992°		 ← 82.18 m → N 82.267614°
W120.536499°		 →
↑
82.19 m
↓
↑
82.19 m
↓
N 82.266875°
W120.541992°		 ← 82.19 m →
6 754 m²		 N 82.266875°
W120.536499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165168762207031 y=0.0711746215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165168762207031 × 216)
    floor (0.165168762207031 × 65536)
    floor (10824.5)     		tx = 10824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0711746215820312 × 216)
    floor (0.0711746215820312 × 65536)
    floor (4664.5)     		ty = 4664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10824 / 4664 ti = "16/10824/4664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10824/4664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10824 ÷ 216
    10824 ÷ 65536     		x = 0.1651611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4664 ÷ 216
    4664 ÷ 65536     		y = 0.0711669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10385465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0711669921875 × 2 - 1) × π
    0.857666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69443725384412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10385465} λ = -2.10385465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69443725384412))-π/2
    2×atan(14.7971893484135)-π/2
    2×1.50331852649119-π/2
    3.00663705298237-1.57079632675     		φ = 1.43584073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10385465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.541992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43584073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.267614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10824 KachelY 4664 -2.10385465 1.43584073 -120.541992 82.267614
    Oben rechts KachelX + 1 10825 KachelY 4664 -2.10375878 1.43584073 -120.536499 82.267614
    Unten links KachelX 10824 KachelY + 1 4665 -2.10385465 1.43582783 -120.541992 82.266875
    Unten rechts KachelX + 1 10825 KachelY + 1 4665 -2.10375878 1.43582783 -120.536499 82.266875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43584073-1.43582783) × R
    1.28999999999824e-05 × 6371000     		dl = 82.1858999998877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43584073-1.43582783) × R
    1.28999999999824e-05 × 6371000     		dr = 82.1858999998877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10385465--2.10375878) × cos(1.43584073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134546311679634 × 6371000     		do = 82.1792416725268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10385465--2.10375878) × cos(1.43582783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134559094372692 × 6371000     		du = 82.1870491851144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43584073)-sin(1.43582783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134546311679634-0.134559094372692)×R²
    abs(-2.10375878--2.10385465)×1.27826930581554e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27826930581554e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27826930581554e-05×40589641000000     		ar = 6754.29577197356m²