Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108238 / 47894
↖ ↑ ↗
← N 43.536603°
E117.284546°		 ← 221.37 m → N 43.536603°
E117.287292°		 →
↑
221.39 m
↓
↑
221.39 m
↓
N 43.534612°
E117.284546°		 ← 221.37 m →
49 010 m²		 N 43.534612°
E117.287292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825794219970703 y=0.365406036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825794219970703 × 217)
    floor (0.825794219970703 × 131072)
    floor (108238.5)     		tx = 108238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365406036376953 × 217)
    floor (0.365406036376953 × 131072)
    floor (47894.5)     		ty = 47894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108238 / 47894 ti = "17/108238/47894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108238/47894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108238 ÷ 217
    108238 ÷ 131072     		x = 0.825790405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47894 ÷ 217
    47894 ÷ 131072     		y = 0.365402221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825790405273438 × 2 - 1) × π
    0.651580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04700149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365402221679688 × 2 - 1) × π
    0.269195556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.845702783097031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04700149} λ = 2.04700149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.845702783097031))-π/2
    2×atan(2.32961445306215)-π/2
    2×1.16532669488174-π/2
    2.33065338976348-1.57079632675     		φ = 0.75985706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04700149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.284546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75985706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.536603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108238 KachelY 47894 2.04700149 0.75985706 117.284546 43.536603
    Oben rechts KachelX + 1 108239 KachelY 47894 2.04704942 0.75985706 117.287292 43.536603
    Unten links KachelX 108238 KachelY + 1 47895 2.04700149 0.75982231 117.284546 43.534612
    Unten rechts KachelX + 1 108239 KachelY + 1 47895 2.04704942 0.75982231 117.287292 43.534612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75985706-0.75982231) × R
    3.47499999999723e-05 × 6371000     		dl = 221.392249999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75985706-0.75982231) × R
    3.47499999999723e-05 × 6371000     		dr = 221.392249999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04700149-2.04704942) × cos(0.75985706) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.724934477767066 × 6371000     		do = 221.367463748077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04700149-2.04704942) × cos(0.75982231) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.724958413748952 × 6371000     		du = 221.374772888095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75985706)-sin(0.75982231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724934477767066-0.724958413748952)×R²
    abs(2.04704942-2.04700149)×2.39359818862139e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39359818862139e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39359818862139e-05×40589641000000     		ar = 49009.8499744113m²