Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108237 / 47895
↖ ↑ ↗
← N 43.534612°
E117.281799°		 ← 221.42 m → N 43.534612°
E117.284546°		 →
↑
221.39 m
↓
↑
221.39 m
↓
N 43.532621°
E117.281799°		 ← 221.43 m →
49 022 m²		 N 43.532621°
E117.284546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825786590576172 y=0.365413665771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825786590576172 × 217)
    floor (0.825786590576172 × 131072)
    floor (108237.5)     		tx = 108237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365413665771484 × 217)
    floor (0.365413665771484 × 131072)
    floor (47895.5)     		ty = 47895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108237 / 47895 ti = "17/108237/47895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108237/47895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108237 ÷ 217
    108237 ÷ 131072     		x = 0.825782775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47895 ÷ 217
    47895 ÷ 131072     		y = 0.365409851074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825782775878906 × 2 - 1) × π
    0.651565551757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.04695355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365409851074219 × 2 - 1) × π
    0.269180297851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.845654846197411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04695355} λ = 2.04695355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.845654846197411))-π/2
    2×atan(2.32950278124458)-π/2
    2×1.16530931903928-π/2
    2.33061863807855-1.57079632675     		φ = 0.75982231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04695355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.281799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75982231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.534612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108237 KachelY 47895 2.04695355 0.75982231 117.281799 43.534612
    Oben rechts KachelX + 1 108238 KachelY 47895 2.04700149 0.75982231 117.284546 43.534612
    Unten links KachelX 108237 KachelY + 1 47896 2.04695355 0.75978756 117.281799 43.532621
    Unten rechts KachelX + 1 108238 KachelY + 1 47896 2.04700149 0.75978756 117.284546 43.532621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75982231-0.75978756) × R
    3.47499999999723e-05 × 6371000     		dl = 221.392249999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75982231-0.75978756) × R
    3.47499999999723e-05 × 6371000     		dr = 221.392249999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04695355-2.04700149) × cos(0.75982231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724958413748952 × 6371000     		do = 221.420959988355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04695355-2.04700149) × cos(0.75978756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724982348855406 × 6371000     		du = 221.428270385955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75982231)-sin(0.75978756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724958413748952-0.724982348855406)×R²
    abs(2.04700149-2.04695355)×2.39351064537097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39351064537097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39351064537097e-05×40589641000000     		ar = 49021.693766517m²