Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108236 / 47748
↖ ↑ ↗
← N 43.826601°
E117.279053°		 ← 220.35 m → N 43.826601°
E117.281799°		 →
↑
220.31 m
↓
↑
220.31 m
↓
N 43.824620°
E117.279053°		 ← 220.35 m →
48 545 m²		 N 43.824620°
E117.281799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825778961181641 y=0.364292144775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825778961181641 × 217)
    floor (0.825778961181641 × 131072)
    floor (108236.5)     		tx = 108236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364292144775391 × 217)
    floor (0.364292144775391 × 131072)
    floor (47748.5)     		ty = 47748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108236 / 47748 ti = "17/108236/47748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108236/47748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108236 ÷ 217
    108236 ÷ 131072     		x = 0.825775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47748 ÷ 217
    47748 ÷ 131072     		y = 0.364288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825775146484375 × 2 - 1) × π
    0.65155029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04690561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364288330078125 × 2 - 1) × π
    0.27142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.852701570441559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04690561} λ = 2.04690561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852701570441559))-π/2
    2×atan(2.34597611833486)-π/2
    2×1.16785741010374-π/2
    2.33571482020748-1.57079632675     		φ = 0.76491849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04690561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.279053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76491849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.826601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108236 KachelY 47748 2.04690561 0.76491849 117.279053 43.826601
    Oben rechts KachelX + 1 108237 KachelY 47748 2.04695355 0.76491849 117.281799 43.826601
    Unten links KachelX 108236 KachelY + 1 47749 2.04690561 0.76488391 117.279053 43.824620
    Unten rechts KachelX + 1 108237 KachelY + 1 47749 2.04695355 0.76488391 117.281799 43.824620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76491849-0.76488391) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dl = 220.30918000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76491849-0.76488391) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dr = 220.30918000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04690561-2.04695355) × cos(0.76491849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721438803730908 × 6371000     		do = 220.345980494083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04690561-2.04695355) × cos(0.76488391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721462749195594 × 6371000     		du = 220.353294055354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76491849)-sin(0.76488391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721438803730908-0.721462749195594)×R²
    abs(2.04695355-2.04690561)×2.39454646865367e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39454646865367e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39454646865367e-05×40589641000000     		ar = 48545.0479060726m²