Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108219 / 100145
↖ ↑ ↗
← S 68.448671°
E117.232361°		 ← 112.17 m → S 68.448671°
E117.235107°		 →
↑
112.13 m
↓
↑
112.13 m
↓
S 68.449680°
E117.232361°		 ← 112.17 m →
12 577 m²		 S 68.449680°
E117.235107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825649261474609 y=0.764049530029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825649261474609 × 217)
    floor (0.825649261474609 × 131072)
    floor (108219.5)     		tx = 108219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764049530029297 × 217)
    floor (0.764049530029297 × 131072)
    floor (100145.5)     		ty = 100145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108219 / 100145 ti = "17/108219/100145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108219/100145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108219 ÷ 217
    108219 ÷ 131072     		x = 0.825645446777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100145 ÷ 217
    100145 ÷ 131072     		y = 0.764045715332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825645446777344 × 2 - 1) × π
    0.651290893554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.04609069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764045715332031 × 2 - 1) × π
    -0.528091430664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.65904815895052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04609069} λ = 2.04609069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65904815895052))-π/2
    2×atan(0.190320048348311)-π/2
    2×0.188070825536324-π/2
    0.376141651072647-1.57079632675     		φ = -1.19465468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04609069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.232361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19465468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.448671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108219 KachelY 100145 2.04609069 -1.19465468 117.232361 -68.448671
    Oben rechts KachelX + 1 108220 KachelY 100145 2.04613862 -1.19465468 117.235107 -68.448671
    Unten links KachelX 108219 KachelY + 1 100146 2.04609069 -1.19467228 117.232361 -68.449680
    Unten rechts KachelX + 1 108220 KachelY + 1 100146 2.04613862 -1.19467228 117.235107 -68.449680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19465468--1.19467228) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dl = 112.129600000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19465468--1.19467228) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dr = 112.129600000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04609069-2.04613862) × cos(-1.19465468) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.367334601207488 × 6371000     		do = 112.170039512988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04609069-2.04613862) × cos(-1.19467228) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.36731823158663 × 6371000     		du = 112.165040852333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19465468)-sin(-1.19467228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367334601207488-0.36731823158663)×R²
    abs(2.04613862-2.04609069)×1.63696208588249e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.63696208588249e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.63696208588249e-05×40589641000000     		ar = 12577.3014139418m²