Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108213 / 100067
↖ ↑ ↗
← S 68.369838°
E117.215882°		 ← 112.56 m → S 68.369838°
E117.218628°		 →
↑
112.58 m
↓
↑
112.58 m
↓
S 68.370851°
E117.215882°		 ← 112.56 m →
12 671 m²		 S 68.370851°
E117.218628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825603485107422 y=0.763454437255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825603485107422 × 217)
    floor (0.825603485107422 × 131072)
    floor (108213.5)     		tx = 108213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763454437255859 × 217)
    floor (0.763454437255859 × 131072)
    floor (100067.5)     		ty = 100067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108213 / 100067 ti = "17/108213/100067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108213/100067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108213 ÷ 217
    108213 ÷ 131072     		x = 0.825599670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100067 ÷ 217
    100067 ÷ 131072     		y = 0.763450622558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825599670410156 × 2 - 1) × π
    0.651199340820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.04580307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763450622558594 × 2 - 1) × π
    -0.526901245117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.65530908078016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04580307} λ = 2.04580307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65530908078016))-π/2
    2×atan(0.191033001950465)-π/2
    2×0.188758767247058-π/2
    0.377517534494116-1.57079632675     		φ = -1.19327879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04580307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.215882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19327879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.369838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108213 KachelY 100067 2.04580307 -1.19327879 117.215882 -68.369838
    Oben rechts KachelX + 1 108214 KachelY 100067 2.04585100 -1.19327879 117.218628 -68.369838
    Unten links KachelX 108213 KachelY + 1 100068 2.04580307 -1.19329646 117.215882 -68.370851
    Unten rechts KachelX + 1 108214 KachelY + 1 100068 2.04585100 -1.19329646 117.218628 -68.370851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19327879--1.19329646) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dl = 112.575570000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19327879--1.19329646) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dr = 112.575570000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04580307-2.04585100) × cos(-1.19327879) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368613953072117 × 6371000     		do = 112.560704996495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04580307-2.04585100) × cos(-1.19329646) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368597527290568 × 6371000     		du = 112.555689186497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19327879)-sin(-1.19329646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368613953072117-0.368597527290568)×R²
    abs(2.04585100-2.04580307)×1.64257815490343e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64257815490343e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64257815490343e-05×40589641000000     		ar = 12671.3031960371m²