Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108210 / 100277
↖ ↑ ↗
← S 68.581456°
E117.207641°		 ← 111.53 m → S 68.581456°
E117.210388°		 →
↑
111.49 m
↓
↑
111.49 m
↓
S 68.582459°
E117.207641°		 ← 111.53 m →
12 435 m²		 S 68.582459°
E117.210388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825580596923828 y=0.765056610107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825580596923828 × 217)
    floor (0.825580596923828 × 131072)
    floor (108210.5)     		tx = 108210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765056610107422 × 217)
    floor (0.765056610107422 × 131072)
    floor (100277.5)     		ty = 100277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108210 / 100277 ti = "17/108210/100277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108210/100277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108210 ÷ 217
    108210 ÷ 131072     		x = 0.825576782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100277 ÷ 217
    100277 ÷ 131072     		y = 0.765052795410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825576782226562 × 2 - 1) × π
    0.651153564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04565925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765052795410156 × 2 - 1) × π
    -0.530105590820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.66537582970037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04565925} λ = 2.04565925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66537582970037))-π/2
    2×atan(0.189119567873404)-π/2
    2×0.18691205356263-π/2
    0.373824107125259-1.57079632675     		φ = -1.19697222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04565925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.207641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19697222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.581456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108210 KachelY 100277 2.04565925 -1.19697222 117.207641 -68.581456
    Oben rechts KachelX + 1 108211 KachelY 100277 2.04570719 -1.19697222 117.210388 -68.581456
    Unten links KachelX 108210 KachelY + 1 100278 2.04565925 -1.19698972 117.207641 -68.582459
    Unten rechts KachelX + 1 108211 KachelY + 1 100278 2.04570719 -1.19698972 117.210388 -68.582459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19697222--1.19698972) × R
    1.75000000000036e-05 × 6371000     		dl = 111.492500000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19697222--1.19698972) × R
    1.75000000000036e-05 × 6371000     		dr = 111.492500000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04565925-2.04570719) × cos(-1.19697222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365178098521271 × 6371000     		do = 111.534790972579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04565925-2.04570719) × cos(-1.19698972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365161807056026 × 6371000     		du = 111.529815139751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19697222)-sin(-1.19698972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365178098521271-0.365161807056026)×R²
    abs(2.04570719-2.04565925)×1.62914652448998e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62914652448998e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62914652448998e-05×40589641000000     		ar = 12435.0152987692m²