Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108207 / 100068
↖ ↑ ↗
← S 68.370851°
E117.199402°		 ← 112.58 m → S 68.370851°
E117.202148°		 →
↑
112.58 m
↓
↑
112.58 m
↓
S 68.371863°
E117.199402°		 ← 112.57 m →
12 673 m²		 S 68.371863°
E117.202148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825557708740234 y=0.763462066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825557708740234 × 217)
    floor (0.825557708740234 × 131072)
    floor (108207.5)     		tx = 108207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763462066650391 × 217)
    floor (0.763462066650391 × 131072)
    floor (100068.5)     		ty = 100068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108207 / 100068 ti = "17/108207/100068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108207/100068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108207 ÷ 217
    108207 ÷ 131072     		x = 0.825553894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100068 ÷ 217
    100068 ÷ 131072     		y = 0.763458251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825553894042969 × 2 - 1) × π
    0.651107788085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.04551544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.52691650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65535701767978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04551544} λ = 2.04551544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65535701767978))-π/2
    2×atan(0.191023844640115)-π/2
    2×0.188749932338925-π/2
    0.37749986467785-1.57079632675     		φ = -1.19329646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04551544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.199402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19329646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.370851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108207 KachelY 100068 2.04551544 -1.19329646 117.199402 -68.370851
    Oben rechts KachelX + 1 108208 KachelY 100068 2.04556338 -1.19329646 117.202148 -68.370851
    Unten links KachelX 108207 KachelY + 1 100069 2.04551544 -1.19331413 117.199402 -68.371863
    Unten rechts KachelX + 1 108208 KachelY + 1 100069 2.04556338 -1.19331413 117.202148 -68.371863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19329646--1.19331413) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dl = 112.575570000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19329646--1.19331413) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dr = 112.575570000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04551544-2.04556338) × cos(-1.19329646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368597527290568 × 6371000     		do = 112.579172534818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04551544-2.04556338) × cos(-1.19331413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368581101393932 × 6371000     		du = 112.574155643183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19329646)-sin(-1.19331413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368597527290568-0.368581101393932)×R²
    abs(2.04556338-2.04551544)×1.64258966358632e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64258966358632e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64258966358632e-05×40589641000000     		ar = 12673.3821289663m²