Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108205 / 100064
↖ ↑ ↗
← S 68.366801°
E117.193909°		 ← 112.60 m → S 68.366801°
E117.196655°		 →
↑
112.58 m
↓
↑
112.58 m
↓
S 68.367814°
E117.193909°		 ← 112.59 m →
12 676 m²		 S 68.367814°
E117.196655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825542449951172 y=0.763431549072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825542449951172 × 217)
    floor (0.825542449951172 × 131072)
    floor (108205.5)     		tx = 108205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763431549072266 × 217)
    floor (0.763431549072266 × 131072)
    floor (100064.5)     		ty = 100064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108205 / 100064 ti = "17/108205/100064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108205/100064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108205 ÷ 217
    108205 ÷ 131072     		x = 0.825538635253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100064 ÷ 217
    100064 ÷ 131072     		y = 0.763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825538635253906 × 2 - 1) × π
    0.651077270507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.04541957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.52685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6551652700813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04541957} λ = 2.04541957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6551652700813))-π/2
    2×atan(0.191060476515502)-π/2
    2×0.188785274333738-π/2
    0.377570548667477-1.57079632675     		φ = -1.19322578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04541957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.193909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19322578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.366801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108205 KachelY 100064 2.04541957 -1.19322578 117.193909 -68.366801
    Oben rechts KachelX + 1 108206 KachelY 100064 2.04546751 -1.19322578 117.196655 -68.366801
    Unten links KachelX 108205 KachelY + 1 100065 2.04541957 -1.19324345 117.193909 -68.367814
    Unten rechts KachelX + 1 108206 KachelY + 1 100065 2.04546751 -1.19324345 117.196655 -68.367814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19322578--1.19324345) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dl = 112.575570000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19322578--1.19324345) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dr = 112.575570000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04541957-2.04546751) × cos(-1.19322578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368663229726192 × 6371000     		do = 112.599239749838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04541957-2.04546751) × cos(-1.19324345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368646804289934 × 6371000     		du = 112.594222998815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19322578)-sin(-1.19324345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368663229726192-0.368646804289934)×R²
    abs(2.04546751-2.04541957)×1.64254362578498e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64254362578498e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64254362578498e-05×40589641000000     		ar = 12675.6412150426m²