Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108203 / 100287
↖ ↑ ↗
← S 68.591484°
E117.188416°		 ← 111.46 m → S 68.591484°
E117.191162°		 →
↑
111.43 m
↓
↑
111.43 m
↓
S 68.592486°
E117.188416°		 ← 111.46 m →
12 420 m²		 S 68.592486°
E117.191162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825527191162109 y=0.765132904052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825527191162109 × 217)
    floor (0.825527191162109 × 131072)
    floor (108203.5)     		tx = 108203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765132904052734 × 217)
    floor (0.765132904052734 × 131072)
    floor (100287.5)     		ty = 100287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108203 / 100287 ti = "17/108203/100287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108203/100287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108203 ÷ 217
    108203 ÷ 131072     		x = 0.825523376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100287 ÷ 217
    100287 ÷ 131072     		y = 0.765129089355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825523376464844 × 2 - 1) × π
    0.651046752929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.04532370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765129089355469 × 2 - 1) × π
    -0.530258178710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.66585519869657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04532370} λ = 2.04532370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66585519869657))-π/2
    2×atan(0.18902893154185)-π/2
    2×0.186824545560971-π/2
    0.373649091121941-1.57079632675     		φ = -1.19714724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04532370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.188416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19714724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.591484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108203 KachelY 100287 2.04532370 -1.19714724 117.188416 -68.591484
    Oben rechts KachelX + 1 108204 KachelY 100287 2.04537163 -1.19714724 117.191162 -68.591484
    Unten links KachelX 108203 KachelY + 1 100288 2.04532370 -1.19716473 117.188416 -68.592486
    Unten rechts KachelX + 1 108204 KachelY + 1 100288 2.04537163 -1.19716473 117.191162 -68.592486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19714724--1.19716473) × R
    1.74899999998424e-05 × 6371000     		dl = 111.428789998996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19714724--1.19716473) × R
    1.74899999998424e-05 × 6371000     		dr = 111.428789998996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04532370-2.04537163) × cos(-1.19714724) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.365015160217003 × 6371000     		do = 111.461770304708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04532370-2.04537163) × cos(-1.19716473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.364998876943627 × 6371000     		du = 111.456798011294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19714724)-sin(-1.19716473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365015160217003-0.364998876943627)×R²
    abs(2.04537163-2.04532370)×1.62832733763274e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62832733763274e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62832733763274e-05×40589641000000     		ar = 12419.7731682406m²