Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108202 / 47802
↖ ↑ ↗
← N 43.719505°
E117.185669°		 ← 220.74 m → N 43.719505°
E117.188416°		 →
↑
220.76 m
↓
↑
220.76 m
↓
N 43.717520°
E117.185669°		 ← 220.75 m →
48 731 m²		 N 43.717520°
E117.188416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825519561767578 y=0.364704132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825519561767578 × 217)
    floor (0.825519561767578 × 131072)
    floor (108202.5)     		tx = 108202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364704132080078 × 217)
    floor (0.364704132080078 × 131072)
    floor (47802.5)     		ty = 47802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108202 / 47802 ti = "17/108202/47802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108202/47802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108202 ÷ 217
    108202 ÷ 131072     		x = 0.825515747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47802 ÷ 217
    47802 ÷ 131072     		y = 0.364700317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825515747070312 × 2 - 1) × π
    0.651031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04527576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364700317382812 × 2 - 1) × π
    0.270599365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.850112977862076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04527576} λ = 2.04527576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.850112977862076))-π/2
    2×atan(2.33991119515752)-π/2
    2×1.16692281768461-π/2
    2.33384563536923-1.57079632675     		φ = 0.76304931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04527576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.185669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76304931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.719505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108202 KachelY 47802 2.04527576 0.76304931 117.185669 43.719505
    Oben rechts KachelX + 1 108203 KachelY 47802 2.04532370 0.76304931 117.188416 43.719505
    Unten links KachelX 108202 KachelY + 1 47803 2.04527576 0.76301466 117.185669 43.717520
    Unten rechts KachelX + 1 108203 KachelY + 1 47803 2.04532370 0.76301466 117.188416 43.717520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76304931-0.76301466) × R
    3.46500000000249e-05 × 6371000     		dl = 220.755150000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76304931-0.76301466) × R
    3.46500000000249e-05 × 6371000     		dr = 220.755150000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04527576-2.04532370) × cos(0.76304931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.722731909079016 × 6371000     		do = 220.740928151926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04527576-2.04532370) × cos(0.76301466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.722755856247273 × 6371000     		du = 220.748242233512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76304931)-sin(0.76301466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722731909079016-0.722755856247273)×R²
    abs(2.04532370-2.04527576)×2.39471682571546e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39471682571546e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39471682571546e-05×40589641000000     		ar = 48730.5040207088m²