Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108202 / 100286
↖ ↑ ↗
← S 68.590482°
E117.185669°		 ← 111.49 m → S 68.590482°
E117.188416°		 →
↑
111.49 m
↓
↑
111.49 m
↓
S 68.591484°
E117.185669°		 ← 111.49 m →
12 430 m²		 S 68.591484°
E117.188416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825519561767578 y=0.765125274658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825519561767578 × 217)
    floor (0.825519561767578 × 131072)
    floor (108202.5)     		tx = 108202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765125274658203 × 217)
    floor (0.765125274658203 × 131072)
    floor (100286.5)     		ty = 100286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108202 / 100286 ti = "17/108202/100286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108202/100286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108202 ÷ 217
    108202 ÷ 131072     		x = 0.825515747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100286 ÷ 217
    100286 ÷ 131072     		y = 0.765121459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825515747070312 × 2 - 1) × π
    0.651031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04527576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765121459960938 × 2 - 1) × π
    -0.530242919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66580726179695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04527576} λ = 2.04527576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66580726179695))-π/2
    2×atan(0.189037993219959)-π/2
    2×0.186833294603845-π/2
    0.37366658920769-1.57079632675     		φ = -1.19712974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04527576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.185669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19712974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.590482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108202 KachelY 100286 2.04527576 -1.19712974 117.185669 -68.590482
    Oben rechts KachelX + 1 108203 KachelY 100286 2.04532370 -1.19712974 117.188416 -68.590482
    Unten links KachelX 108202 KachelY + 1 100287 2.04527576 -1.19714724 117.185669 -68.591484
    Unten rechts KachelX + 1 108203 KachelY + 1 100287 2.04532370 -1.19714724 117.188416 -68.591484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19712974--1.19714724) × R
    1.75000000000036e-05 × 6371000     		dl = 111.492500000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19712974--1.19714724) × R
    1.75000000000036e-05 × 6371000     		dr = 111.492500000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04527576-2.04532370) × cos(-1.19712974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365031452688673 × 6371000     		do = 111.49000156064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04527576-2.04532370) × cos(-1.19714724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365015160217003 × 6371000     		du = 111.485025420424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19712974)-sin(-1.19714724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365031452688673-0.365015160217003)×R²
    abs(2.04532370-2.04527576)×1.62924716702317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62924716702317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62924716702317e-05×40589641000000     		ar = 12430.0215982127m²