Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108200 / 100290
↖ ↑ ↗
← S 68.594492°
E117.180176°		 ← 111.45 m → S 68.594492°
E117.182922°		 →
↑
111.43 m
↓
↑
111.43 m
↓
S 68.595494°
E117.180176°		 ← 111.44 m →
12 418 m²		 S 68.595494°
E117.182922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825504302978516 y=0.765155792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825504302978516 × 217)
    floor (0.825504302978516 × 131072)
    floor (108200.5)     		tx = 108200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765155792236328 × 217)
    floor (0.765155792236328 × 131072)
    floor (100290.5)     		ty = 100290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108200 / 100290 ti = "17/108200/100290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108200/100290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108200 ÷ 217
    108200 ÷ 131072     		x = 0.82550048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100290 ÷ 217
    100290 ÷ 131072     		y = 0.765151977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82550048828125 × 2 - 1) × π
    0.6510009765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04517989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765151977539062 × 2 - 1) × π
    -0.530303955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66599900939543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04517989} λ = 2.04517989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66599900939543))-π/2
    2×atan(0.189001749113709)-π/2
    2×0.18679830077502-π/2
    0.373596601550041-1.57079632675     		φ = -1.19719973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04517989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.180176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19719973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.594492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108200 KachelY 100290 2.04517989 -1.19719973 117.180176 -68.594492
    Oben rechts KachelX + 1 108201 KachelY 100290 2.04522782 -1.19719973 117.182922 -68.594492
    Unten links KachelX 108200 KachelY + 1 100291 2.04517989 -1.19721722 117.180176 -68.595494
    Unten rechts KachelX + 1 108201 KachelY + 1 100291 2.04522782 -1.19721722 117.182922 -68.595494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19719973--1.19721722) × R
    1.74900000000644e-05 × 6371000     		dl = 111.42879000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19719973--1.19721722) × R
    1.74900000000644e-05 × 6371000     		dr = 111.42879000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04517989-2.04522782) × cos(-1.19719973) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.364966291441505 × 6371000     		do = 111.446847636218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04517989-2.04522782) × cos(-1.19721722) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.364950007833056 × 6371000     		du = 111.441875240486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19719973)-sin(-1.19721722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364966291441505-0.364950007833056)×R²
    abs(2.04522782-2.04517989)×1.62836084488527e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62836084488527e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62836084488527e-05×40589641000000     		ar = 12418.1103477879m²