Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10820 / 5844
↖ ↑ ↗
← N 81.344770°
W120.563965°		 ← 91.93 m → N 81.344770°
W120.558472°		 →
↑
91.93 m
↓
↑
91.93 m
↓
N 81.343943°
W120.563965°		 ← 91.93 m →
8 451 m²		 N 81.343943°
W120.558472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165107727050781 y=0.0891799926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165107727050781 × 216)
    floor (0.165107727050781 × 65536)
    floor (10820.5)     		tx = 10820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0891799926757812 × 216)
    floor (0.0891799926757812 × 65536)
    floor (5844.5)     		ty = 5844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10820 / 5844 ti = "16/10820/5844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10820/5844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10820 ÷ 216
    10820 ÷ 65536     		x = 0.16510009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5844 ÷ 216
    5844 ÷ 65536     		y = 0.08917236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16510009765625 × 2 - 1) × π
    -0.6697998046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10423815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08917236328125 × 2 - 1) × π
    0.8216552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58130617074078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10423815} λ = -2.10423815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58130617074078))-π/2
    2×atan(13.2143871379876)-π/2
    2×1.49526519430491-π/2
    2.99053038860981-1.57079632675     		φ = 1.41973406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10423815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.563965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41973406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.344770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10820 KachelY 5844 -2.10423815 1.41973406 -120.563965 81.344770
    Oben rechts KachelX + 1 10821 KachelY 5844 -2.10414227 1.41973406 -120.558472 81.344770
    Unten links KachelX 10820 KachelY + 1 5845 -2.10423815 1.41971963 -120.563965 81.343943
    Unten rechts KachelX + 1 10821 KachelY + 1 5845 -2.10414227 1.41971963 -120.558472 81.343943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41973406-1.41971963) × R
    1.44300000000097e-05 × 6371000     		dl = 91.9335300000619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41973406-1.41971963) × R
    1.44300000000097e-05 × 6371000     		dr = 91.9335300000619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10423815--2.10414227) × cos(1.41973406) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15048838664612 × 6371000     		do = 91.9260537055345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10423815--2.10414227) × cos(1.41971963) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150502652298393 × 6371000     		du = 91.9347679003385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41973406)-sin(1.41971963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15048838664612-0.150502652298393)×R²
    abs(-2.10414227--2.10423815)×1.42656522728879e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42656522728879e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42656522728879e-05×40589641000000     		ar = 8451.48717950251m²