Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10820 / 23492
↖ ↑ ↗
← S 61.291349°
W 61.127930°		 ← 586.82 m → S 61.291349°
W 61.116943°		 →
↑
586.77 m
↓
↑
586.77 m
↓
S 61.296626°
W 61.127930°		 ← 586.72 m →
344 300 m²		 S 61.296626°
W 61.116943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.330215454101562 y=0.716934204101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.330215454101562 × 215)
    floor (0.330215454101562 × 32768)
    floor (10820.5)     		tx = 10820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716934204101562 × 215)
    floor (0.716934204101562 × 32768)
    floor (23492.5)     		ty = 23492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10820 / 23492 ti = "15/10820/23492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10820/23492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10820 ÷ 215
    10820 ÷ 32768     		x = 0.3302001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23492 ÷ 215
    23492 ÷ 32768     		y = 0.7169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3302001953125 × 2 - 1) × π
    -0.339599609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.06688364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7169189453125 × 2 - 1) × π
    -0.433837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.36294192999744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.06688364} λ = -1.06688364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36294192999744))-π/2
    2×atan(0.255906808519644)-π/2
    2×0.250530239420859-π/2
    0.501060478841719-1.57079632675     		φ = -1.06973585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.06688364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -61.127930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06973585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.291349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10820 KachelY 23492 -1.06688364 -1.06973585 -61.127930 -61.291349
    Oben rechts KachelX + 1 10821 KachelY 23492 -1.06669189 -1.06973585 -61.116943 -61.291349
    Unten links KachelX 10820 KachelY + 1 23493 -1.06688364 -1.06982795 -61.127930 -61.296626
    Unten rechts KachelX + 1 10821 KachelY + 1 23493 -1.06669189 -1.06982795 -61.116943 -61.296626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06973585--1.06982795) × R
    9.21000000000394e-05 × 6371000     		dl = 586.769100000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06973585--1.06982795) × R
    9.21000000000394e-05 × 6371000     		dr = 586.769100000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.06688364--1.06669189) × cos(-1.06973585) × R
    0.000191749999999935 × 0.480355924788656 × 6371000     		do = 586.821651691672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.06688364--1.06669189) × cos(-1.06982795) × R
    0.000191749999999935 × 0.480275144268423 × 6371000     		du = 586.722967037519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06973585)-sin(-1.06982795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480355924788656-0.480275144268423)×R²
    abs(-1.06669189--1.06688364)×8.0780520233581e-05×R²
    0.000191749999999935×8.0780520233581e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.0780520233581e-05×40589641000000     		ar = 344299.86011455m²