Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108197 / 100283
↖ ↑ ↗
← S 68.587474°
E117.171936°		 ← 111.50 m → S 68.587474°
E117.174683°		 →
↑
111.49 m
↓
↑
111.49 m
↓
S 68.588476°
E117.171936°		 ← 111.50 m →
12 432 m²		 S 68.588476°
E117.174683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825481414794922 y=0.765102386474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825481414794922 × 217)
    floor (0.825481414794922 × 131072)
    floor (108197.5)     		tx = 108197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765102386474609 × 217)
    floor (0.765102386474609 × 131072)
    floor (100283.5)     		ty = 100283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108197 / 100283 ti = "17/108197/100283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108197/100283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108197 ÷ 217
    108197 ÷ 131072     		x = 0.825477600097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100283 ÷ 217
    100283 ÷ 131072     		y = 0.765098571777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825477600097656 × 2 - 1) × π
    0.650955200195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.04503607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765098571777344 × 2 - 1) × π
    -0.530197143554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.66566345109809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04503607} λ = 2.04503607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66566345109809))-π/2
    2×atan(0.189065180860765)-π/2
    2×0.186859544075346-π/2
    0.373719088150692-1.57079632675     		φ = -1.19707724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04503607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.171936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19707724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.587474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108197 KachelY 100283 2.04503607 -1.19707724 117.171936 -68.587474
    Oben rechts KachelX + 1 108198 KachelY 100283 2.04508401 -1.19707724 117.174683 -68.587474
    Unten links KachelX 108197 KachelY + 1 100284 2.04503607 -1.19709474 117.171936 -68.588476
    Unten rechts KachelX + 1 108198 KachelY + 1 100284 2.04508401 -1.19709474 117.174683 -68.588476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19707724--1.19709474) × R
    1.75000000000036e-05 × 6371000     		dl = 111.492500000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19707724--1.19709474) × R
    1.75000000000036e-05 × 6371000     		dr = 111.492500000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04503607-2.04508401) × cos(-1.19707724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365080329432919 × 6371000     		do = 111.50492977642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04503607-2.04508401) × cos(-1.19709474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365064037296636 × 6371000     		du = 111.49995373864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19707724)-sin(-1.19709474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365080329432919-0.365064037296636)×R²
    abs(2.04508401-2.04503607)×1.62921362826252e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62921362826252e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62921362826252e-05×40589641000000     		ar = 12431.6859879164m²