Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108196 / 100280
↖ ↑ ↗
← S 68.584465°
E117.169190°		 ← 111.50 m → S 68.584465°
E117.171936°		 →
↑
111.56 m
↓
↑
111.56 m
↓
S 68.585468°
E117.169190°		 ← 111.49 m →
12 438 m²		 S 68.585468°
E117.171936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825473785400391 y=0.765079498291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825473785400391 × 217)
    floor (0.825473785400391 × 131072)
    floor (108196.5)     		tx = 108196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765079498291016 × 217)
    floor (0.765079498291016 × 131072)
    floor (100280.5)     		ty = 100280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108196 / 100280 ti = "17/108196/100280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108196/100280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108196 ÷ 217
    108196 ÷ 131072     		x = 0.825469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100280 ÷ 217
    100280 ÷ 131072     		y = 0.76507568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825469970703125 × 2 - 1) × π
    0.65093994140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04498814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76507568359375 × 2 - 1) × π
    -0.5301513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66551964039923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04498814} λ = 2.04498814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66551964039923))-π/2
    2×atan(0.189092372411726)-π/2
    2×0.186885797061475-π/2
    0.37377159412295-1.57079632675     		φ = -1.19702473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04498814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.169190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19702473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.584465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108196 KachelY 100280 2.04498814 -1.19702473 117.169190 -68.584465
    Oben rechts KachelX + 1 108197 KachelY 100280 2.04503607 -1.19702473 117.171936 -68.584465
    Unten links KachelX 108196 KachelY + 1 100281 2.04498814 -1.19704224 117.169190 -68.585468
    Unten rechts KachelX + 1 108197 KachelY + 1 100281 2.04503607 -1.19704224 117.171936 -68.585468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19702473--1.19704224) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dl = 111.556209999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19702473--1.19704224) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dr = 111.556209999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04498814-2.04503607) × cos(-1.19702473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36512921448048 × 6371000     		do = 111.496598146133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04498814-2.04503607) × cos(-1.19704224) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.365112913370062 × 6371000     		du = 111.491620405964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19702473)-sin(-1.19704224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36512921448048-0.365112913370062)×R²
    abs(2.04503607-2.04498814)×1.63011104185595e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63011104185595e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63011104185595e-05×40589641000000     		ar = 12437.8602683535m²