Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108196 / 100246
↖ ↑ ↗
← S 68.550342°
E117.169190°		 ← 111.67 m → S 68.550342°
E117.171936°		 →
↑
111.68 m
↓
↑
111.68 m
↓
S 68.551346°
E117.169190°		 ← 111.66 m →
12 471 m²		 S 68.551346°
E117.171936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825473785400391 y=0.764820098876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825473785400391 × 217)
    floor (0.825473785400391 × 131072)
    floor (108196.5)     		tx = 108196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764820098876953 × 217)
    floor (0.764820098876953 × 131072)
    floor (100246.5)     		ty = 100246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108196 / 100246 ti = "17/108196/100246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108196/100246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108196 ÷ 217
    108196 ÷ 131072     		x = 0.825469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100246 ÷ 217
    100246 ÷ 131072     		y = 0.764816284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825469970703125 × 2 - 1) × π
    0.65093994140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04498814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764816284179688 × 2 - 1) × π
    -0.529632568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66388978581215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04498814} λ = 2.04498814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66388978581215))-π/2
    2×atan(0.189400816773732)-π/2
    2×0.187183576661394-π/2
    0.374367153322787-1.57079632675     		φ = -1.19642917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04498814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.169190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19642917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.550342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108196 KachelY 100246 2.04498814 -1.19642917 117.169190 -68.550342
    Oben rechts KachelX + 1 108197 KachelY 100246 2.04503607 -1.19642917 117.171936 -68.550342
    Unten links KachelX 108196 KachelY + 1 100247 2.04498814 -1.19644670 117.169190 -68.551346
    Unten rechts KachelX + 1 108197 KachelY + 1 100247 2.04503607 -1.19644670 117.171936 -68.551346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19642917--1.19644670) × R
    1.75300000000433e-05 × 6371000     		dl = 111.683630000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19642917--1.19644670) × R
    1.75300000000433e-05 × 6371000     		dr = 111.683630000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04498814-2.04503607) × cos(-1.19642917) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.365683590355193 × 6371000     		do = 111.665883488619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04498814-2.04503607) × cos(-1.19644670) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.365667274440329 × 6371000     		du = 111.660901227734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19642917)-sin(-1.19644670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365683590355193-0.365667274440329)×R²
    abs(2.04503607-2.04498814)×1.6315914864895e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6315914864895e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6315914864895e-05×40589641000000     		ar = 12470.9729970116m²