Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108195 / 100279
↖ ↑ ↗
← S 68.583462°
E117.166443°		 ← 111.52 m → S 68.583462°
E117.169190°		 →
↑
111.49 m
↓
↑
111.49 m
↓
S 68.584465°
E117.166443°		 ← 111.52 m →
12 434 m²		 S 68.584465°
E117.169190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825466156005859 y=0.765071868896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825466156005859 × 217)
    floor (0.825466156005859 × 131072)
    floor (108195.5)     		tx = 108195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765071868896484 × 217)
    floor (0.765071868896484 × 131072)
    floor (100279.5)     		ty = 100279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108195 / 100279 ti = "17/108195/100279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108195/100279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108195 ÷ 217
    108195 ÷ 131072     		x = 0.825462341308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100279 ÷ 217
    100279 ÷ 131072     		y = 0.765068054199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825462341308594 × 2 - 1) × π
    0.650924682617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.04494020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765068054199219 × 2 - 1) × π
    -0.530136108398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.66547170349961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04494020} λ = 2.04494020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66547170349961))-π/2
    2×atan(0.189101437131066)-π/2
    2×0.186894548837948-π/2
    0.373789097675897-1.57079632675     		φ = -1.19700723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04494020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.166443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19700723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.583462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108195 KachelY 100279 2.04494020 -1.19700723 117.166443 -68.583462
    Oben rechts KachelX + 1 108196 KachelY 100279 2.04498814 -1.19700723 117.169190 -68.583462
    Unten links KachelX 108195 KachelY + 1 100280 2.04494020 -1.19702473 117.166443 -68.584465
    Unten rechts KachelX + 1 108196 KachelY + 1 100280 2.04498814 -1.19702473 117.169190 -68.584465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19700723--1.19702473) × R
    1.75000000000036e-05 × 6371000     		dl = 111.492500000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19700723--1.19702473) × R
    1.75000000000036e-05 × 6371000     		dr = 111.492500000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04494020-2.04498814) × cos(-1.19700723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365145506169445 × 6371000     		do = 111.524836429404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04494020-2.04498814) × cos(-1.19702473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36512921448048 × 6371000     		du = 111.519860528246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19700723)-sin(-1.19702473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365145506169445-0.36512921448048)×R²
    abs(2.04498814-2.04494020)×1.62916889653308e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62916889653308e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62916889653308e-05×40589641000000     		ar = 12433.9054381105m²