Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108194 / 47841
↖ ↑ ↗
← N 43.642038°
E117.163696°		 ← 221.03 m → N 43.642038°
E117.166443°		 →
↑
221.01 m
↓
↑
221.01 m
↓
N 43.640051°
E117.163696°		 ← 221.03 m →
48 850 m²		 N 43.640051°
E117.166443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825458526611328 y=0.365001678466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825458526611328 × 217)
    floor (0.825458526611328 × 131072)
    floor (108194.5)     		tx = 108194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365001678466797 × 217)
    floor (0.365001678466797 × 131072)
    floor (47841.5)     		ty = 47841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108194 / 47841 ti = "17/108194/47841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108194/47841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108194 ÷ 217
    108194 ÷ 131072     		x = 0.825454711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47841 ÷ 217
    47841 ÷ 131072     		y = 0.364997863769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825454711914062 × 2 - 1) × π
    0.650909423828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04489226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364997863769531 × 2 - 1) × π
    0.270004272460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.848243438776894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04489226} λ = 2.04489226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.848243438776894))-π/2
    2×atan(2.33554072637638)-π/2
    2×1.1662467934648-π/2
    2.3324935869296-1.57079632675     		φ = 0.76169726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04489226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.163696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76169726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.642038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108194 KachelY 47841 2.04489226 0.76169726 117.163696 43.642038
    Oben rechts KachelX + 1 108195 KachelY 47841 2.04494020 0.76169726 117.166443 43.642038
    Unten links KachelX 108194 KachelY + 1 47842 2.04489226 0.76166257 117.163696 43.640051
    Unten rechts KachelX + 1 108195 KachelY + 1 47842 2.04494020 0.76166257 117.166443 43.640051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76169726-0.76166257) × R
    3.46900000000039e-05 × 6371000     		dl = 221.009990000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76169726-0.76166257) × R
    3.46900000000039e-05 × 6371000     		dr = 221.009990000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04489226-2.04494020) × cos(0.76169726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723665688476146 × 6371000     		do = 221.026128415291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04489226-2.04494020) × cos(0.76166257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723689629368059 × 6371000     		du = 221.03344057992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76169726)-sin(0.76166257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723665688476146-0.723689629368059)×R²
    abs(2.04494020-2.04489226)×2.39408919129325e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39408919129325e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39408919129325e-05×40589641000000     		ar = 48849.7904664178m²