Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108194 / 100285
↖ ↑ ↗
← S 68.589479°
E117.163696°		 ← 111.49 m → S 68.589479°
E117.166443°		 →
↑
111.49 m
↓
↑
111.49 m
↓
S 68.590482°
E117.163696°		 ← 111.49 m →
12 431 m²		 S 68.590482°
E117.166443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825458526611328 y=0.765117645263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825458526611328 × 217)
    floor (0.825458526611328 × 131072)
    floor (108194.5)     		tx = 108194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765117645263672 × 217)
    floor (0.765117645263672 × 131072)
    floor (100285.5)     		ty = 100285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108194 / 100285 ti = "17/108194/100285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108194/100285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108194 ÷ 217
    108194 ÷ 131072     		x = 0.825454711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100285 ÷ 217
    100285 ÷ 131072     		y = 0.765113830566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825454711914062 × 2 - 1) × π
    0.650909423828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04489226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765113830566406 × 2 - 1) × π
    -0.530227661132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.66575932489733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04489226} λ = 2.04489226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66575932489733))-π/2
    2×atan(0.189047055332467)-π/2
    2×0.186842044037189-π/2
    0.373684088074378-1.57079632675     		φ = -1.19711224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04489226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.163696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19711224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.589479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108194 KachelY 100285 2.04489226 -1.19711224 117.163696 -68.589479
    Oben rechts KachelX + 1 108195 KachelY 100285 2.04494020 -1.19711224 117.166443 -68.589479
    Unten links KachelX 108194 KachelY + 1 100286 2.04489226 -1.19712974 117.163696 -68.590482
    Unten rechts KachelX + 1 108195 KachelY + 1 100286 2.04494020 -1.19712974 117.166443 -68.590482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19711224--1.19712974) × R
    1.75000000000036e-05 × 6371000     		dl = 111.492500000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19711224--1.19712974) × R
    1.75000000000036e-05 × 6371000     		dr = 111.492500000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04489226-2.04494020) × cos(-1.19711224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365047745048553 × 6371000     		do = 111.494977666712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04489226-2.04494020) × cos(-1.19712974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365031452688673 × 6371000     		du = 111.49000156064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19711224)-sin(-1.19712974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365047745048553-0.365031452688673)×R²
    abs(2.04494020-2.04489226)×1.62923598793219e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62923598793219e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62923598793219e-05×40589641000000     		ar = 12430.5763985972m²