Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108192 / 101600
↖ ↑ ↗
← S 69.869892°
E117.158203°		 ← 105.11 m → S 69.869892°
E117.160950°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
S 69.870837°
E117.158203°		 ← 105.11 m →
11 043 m²		 S 69.870837°
E117.160950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825443267822266 y=0.775150299072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825443267822266 × 217)
    floor (0.825443267822266 × 131072)
    floor (108192.5)     		tx = 108192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775150299072266 × 217)
    floor (0.775150299072266 × 131072)
    floor (101600.5)     		ty = 101600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108192 / 101600 ti = "17/108192/101600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108192/101600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108192 ÷ 217
    108192 ÷ 131072     		x = 0.825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101600 ÷ 217
    101600 ÷ 131072     		y = 0.775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825439453125 × 2 - 1) × π
    0.65087890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04479639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775146484375 × 2 - 1) × π
    -0.55029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72879634789771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04479639} λ = 2.04479639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72879634789771))-π/2
    2×atan(0.177497927197094)-π/2
    2×0.1756683354844-π/2
    0.3513366709688-1.57079632675     		φ = -1.21945966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04479639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.158203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21945966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.869892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108192 KachelY 101600 2.04479639 -1.21945966 117.158203 -69.869892
    Oben rechts KachelX + 1 108193 KachelY 101600 2.04484433 -1.21945966 117.160950 -69.869892
    Unten links KachelX 108192 KachelY + 1 101601 2.04479639 -1.21947615 117.158203 -69.870837
    Unten rechts KachelX + 1 108193 KachelY + 1 101601 2.04484433 -1.21947615 117.160950 -69.870837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21945966--1.21947615) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dl = 105.05778999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21945966--1.21947615) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dr = 105.05778999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04479639-2.04484433) × cos(-1.21945966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344153129070886 × 6371000     		do = 105.113224119722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04479639-2.04484433) × cos(-1.21947615) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344137646339925 × 6371000     		du = 105.108495295161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21945966)-sin(-1.21947615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344153129070886-0.344137646339925)×R²
    abs(2.04484433-2.04479639)×1.5482730960914e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5482730960914e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5482730960914e-05×40589641000000     		ar = 11042.7146259421m²