Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108187 / 47799
↖ ↑ ↗
← N 43.725460°
E117.144470°		 ← 220.67 m → N 43.725460°
E117.147217°		 →
↑
220.69 m
↓
↑
220.69 m
↓
N 43.723475°
E117.144470°		 ← 220.68 m →
48 701 m²		 N 43.723475°
E117.147217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825405120849609 y=0.364681243896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825405120849609 × 217)
    floor (0.825405120849609 × 131072)
    floor (108187.5)     		tx = 108187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364681243896484 × 217)
    floor (0.364681243896484 × 131072)
    floor (47799.5)     		ty = 47799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108187 / 47799 ti = "17/108187/47799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108187/47799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108187 ÷ 217
    108187 ÷ 131072     		x = 0.825401306152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47799 ÷ 217
    47799 ÷ 131072     		y = 0.364677429199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825401306152344 × 2 - 1) × π
    0.650802612304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.04455671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364677429199219 × 2 - 1) × π
    0.270645141601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.850256788560936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04455671} λ = 2.04455671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.850256788560936))-π/2
    2×atan(2.34024772361938)-π/2
    2×1.16697478339254-π/2
    2.33394956678507-1.57079632675     		φ = 0.76315324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04455671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.144470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76315324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.725460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108187 KachelY 47799 2.04455671 0.76315324 117.144470 43.725460
    Oben rechts KachelX + 1 108188 KachelY 47799 2.04460464 0.76315324 117.147217 43.725460
    Unten links KachelX 108187 KachelY + 1 47800 2.04455671 0.76311860 117.144470 43.723475
    Unten rechts KachelX + 1 108188 KachelY + 1 47800 2.04460464 0.76311860 117.147217 43.723475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76315324-0.76311860) × R
    3.46399999999747e-05 × 6371000     		dl = 220.691439999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76315324-0.76311860) × R
    3.46399999999747e-05 × 6371000     		dr = 220.691439999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04455671-2.04460464) × cos(0.76315324) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.722660076192062 × 6371000     		do = 220.672947866098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04455671-2.04460464) × cos(0.76311860) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.722684019051131 × 6371000     		du = 220.680259106147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76315324)-sin(0.76311860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722660076192062-0.722684019051131)×R²
    abs(2.04460464-2.04455671)×2.39428590690371e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39428590690371e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39428590690371e-05×40589641000000     		ar = 48701.4374025805m²