Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108186 / 47786
↖ ↑ ↗
← N 43.751257°
E117.141724°		 ← 220.62 m → N 43.751257°
E117.144470°		 →
↑
220.63 m
↓
↑
220.63 m
↓
N 43.749273°
E117.141724°		 ← 220.63 m →
48 677 m²		 N 43.749273°
E117.144470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825397491455078 y=0.364582061767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825397491455078 × 217)
    floor (0.825397491455078 × 131072)
    floor (108186.5)     		tx = 108186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364582061767578 × 217)
    floor (0.364582061767578 × 131072)
    floor (47786.5)     		ty = 47786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108186 / 47786 ti = "17/108186/47786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108186/47786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108186 ÷ 217
    108186 ÷ 131072     		x = 0.825393676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47786 ÷ 217
    47786 ÷ 131072     		y = 0.364578247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825393676757812 × 2 - 1) × π
    0.650787353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04450877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364578247070312 × 2 - 1) × π
    0.270843505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.850879968255997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04450877} λ = 2.04450877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.850879968255997))-π/2
    2×atan(2.3417065729976)-π/2
    2×1.16719990843877-π/2
    2.33439981687754-1.57079632675     		φ = 0.76360349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04450877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.141724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76360349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.751257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108186 KachelY 47786 2.04450877 0.76360349 117.141724 43.751257
    Oben rechts KachelX + 1 108187 KachelY 47786 2.04455671 0.76360349 117.144470 43.751257
    Unten links KachelX 108186 KachelY + 1 47787 2.04450877 0.76356886 117.141724 43.749273
    Unten rechts KachelX + 1 108187 KachelY + 1 47787 2.04455671 0.76356886 117.144470 43.749273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76360349-0.76356886) × R
    3.46300000000355e-05 × 6371000     		dl = 220.627730000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76360349-0.76356886) × R
    3.46300000000355e-05 × 6371000     		dr = 220.627730000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04450877-2.04455671) × cos(0.76360349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.722348788531797 × 6371000     		do = 220.623913275283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04450877-2.04455671) × cos(0.76356886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.722372735744671 × 6371000     		du = 220.631227370496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76360349)-sin(0.76356886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722348788531797-0.722372735744671)×R²
    abs(2.04455671-2.04450877)×2.39472128732432e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39472128732432e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39472128732432e-05×40589641000000     		ar = 48676.5600205732m²