Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108185 / 47785
↖ ↑ ↗
← N 43.753241°
E117.138977°		 ← 220.62 m → N 43.753241°
E117.141724°		 →
↑
220.63 m
↓
↑
220.63 m
↓
N 43.751257°
E117.138977°		 ← 220.62 m →
48 675 m²		 N 43.751257°
E117.141724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825389862060547 y=0.364574432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825389862060547 × 217)
    floor (0.825389862060547 × 131072)
    floor (108185.5)     		tx = 108185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364574432373047 × 217)
    floor (0.364574432373047 × 131072)
    floor (47785.5)     		ty = 47785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108185 / 47785 ti = "17/108185/47785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108185/47785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108185 ÷ 217
    108185 ÷ 131072     		x = 0.825386047363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47785 ÷ 217
    47785 ÷ 131072     		y = 0.364570617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825386047363281 × 2 - 1) × π
    0.650772094726562 × 3.1415926535     		Λ = 2.04446083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364570617675781 × 2 - 1) × π
    0.270858764648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.850927905155617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04446083} λ = 2.04446083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.850927905155617))-π/2
    2×atan(2.34181882984113)-π/2
    2×1.16721722173248-π/2
    2.33443444346496-1.57079632675     		φ = 0.76363812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04446083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.138977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76363812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.753241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108185 KachelY 47785 2.04446083 0.76363812 117.138977 43.753241
    Oben rechts KachelX + 1 108186 KachelY 47785 2.04450877 0.76363812 117.141724 43.753241
    Unten links KachelX 108185 KachelY + 1 47786 2.04446083 0.76360349 117.138977 43.751257
    Unten rechts KachelX + 1 108186 KachelY + 1 47786 2.04450877 0.76360349 117.141724 43.751257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76363812-0.76360349) × R
    3.46299999999244e-05 × 6371000     		dl = 220.627729999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76363812-0.76360349) × R
    3.46299999999244e-05 × 6371000     		dr = 220.627729999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04446083-2.04450877) × cos(0.76363812) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.722324840452657 × 6371000     		do = 220.616598917534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04446083-2.04450877) × cos(0.76360349) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.722348788531797 × 6371000     		du = 220.623913277327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76363812)-sin(0.76360349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722324840452657-0.722348788531797)×R²
    abs(2.04450877-2.04446083)×2.39480791404123e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.39480791404123e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.39480791404123e-05×40589641000000     		ar = 48674.9462996616m²