Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108181 / 100241
↖ ↑ ↗
← S 68.545319°
E117.127990°		 ← 111.71 m → S 68.545319°
E117.130737°		 →
↑
111.75 m
↓
↑
111.75 m
↓
S 68.546324°
E117.127990°		 ← 111.71 m →
12 483 m²		 S 68.546324°
E117.130737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825359344482422 y=0.764781951904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825359344482422 × 217)
    floor (0.825359344482422 × 131072)
    floor (108181.5)     		tx = 108181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764781951904297 × 217)
    floor (0.764781951904297 × 131072)
    floor (100241.5)     		ty = 100241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108181 / 100241 ti = "17/108181/100241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108181/100241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108181 ÷ 217
    108181 ÷ 131072     		x = 0.825355529785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100241 ÷ 217
    100241 ÷ 131072     		y = 0.764778137207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825355529785156 × 2 - 1) × π
    0.650711059570312 × 3.1415926535     		Λ = 2.04426908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764778137207031 × 2 - 1) × π
    -0.529556274414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.66365010131405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04426908} λ = 2.04426908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66365010131405))-π/2
    2×atan(0.189446218654287)-π/2
    2×0.187227405893472-π/2
    0.374454811786945-1.57079632675     		φ = -1.19634151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04426908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.127990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19634151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.545319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108181 KachelY 100241 2.04426908 -1.19634151 117.127990 -68.545319
    Oben rechts KachelX + 1 108182 KachelY 100241 2.04431702 -1.19634151 117.130737 -68.545319
    Unten links KachelX 108181 KachelY + 1 100242 2.04426908 -1.19635905 117.127990 -68.546324
    Unten rechts KachelX + 1 108182 KachelY + 1 100242 2.04431702 -1.19635905 117.130737 -68.546324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19634151--1.19635905) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dl = 111.747339999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19634151--1.19635905) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dr = 111.747339999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04426908-2.04431702) × cos(-1.19634151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365765177550865 × 6371000     		do = 111.714100019631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04426908-2.04431702) × cos(-1.19635905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365748852890854 × 6371000     		du = 111.709114048267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19634151)-sin(-1.19635905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365765177550865-0.365748852890854)×R²
    abs(2.04431702-2.04426908)×1.63246600118905e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63246600118905e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63246600118905e-05×40589641000000     		ar = 12483.4749336909m²