Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108180 / 42378
↖ ↑ ↗
← N 53.523982°
E117.125244°		 ← 181.53 m → N 53.523982°
E117.127990°		 →
↑
181.57 m
↓
↑
181.57 m
↓
N 53.522349°
E117.125244°		 ← 181.54 m →
32 962 m²		 N 53.522349°
E117.127990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825351715087891 y=0.323322296142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825351715087891 × 217)
    floor (0.825351715087891 × 131072)
    floor (108180.5)     		tx = 108180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323322296142578 × 217)
    floor (0.323322296142578 × 131072)
    floor (42378.5)     		ty = 42378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108180 / 42378 ti = "17/108180/42378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108180/42378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108180 ÷ 217
    108180 ÷ 131072     		x = 0.825347900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42378 ÷ 217
    42378 ÷ 131072     		y = 0.323318481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825347900390625 × 2 - 1) × π
    0.65069580078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04422115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323318481445312 × 2 - 1) × π
    0.353363037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11012272140126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04422115} λ = 2.04422115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11012272140126))-π/2
    2×atan(3.03473079800024)-π/2
    2×1.25248302496311-π/2
    2.50496604992622-1.57079632675     		φ = 0.93416972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04422115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.125244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93416972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.523982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108180 KachelY 42378 2.04422115 0.93416972 117.125244 53.523982
    Oben rechts KachelX + 1 108181 KachelY 42378 2.04426908 0.93416972 117.127990 53.523982
    Unten links KachelX 108180 KachelY + 1 42379 2.04422115 0.93414122 117.125244 53.522349
    Unten rechts KachelX + 1 108181 KachelY + 1 42379 2.04426908 0.93414122 117.127990 53.522349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93416972-0.93414122) × R
    2.84999999999869e-05 × 6371000     		dl = 181.573499999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93416972-0.93414122) × R
    2.84999999999869e-05 × 6371000     		dr = 181.573499999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04422115-2.04426908) × cos(0.93416972) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.594486264141113 × 6371000     		do = 181.533532425357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04422115-2.04426908) × cos(0.93414122) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.594509180913984 × 6371000     		du = 181.540530337643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93416972)-sin(0.93414122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594486264141113-0.594509180913984)×R²
    abs(2.04426908-2.04422115)×2.2916772871584e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2916772871584e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2916772871584e-05×40589641000000     		ar = 32962.3141697265m²