Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108179 / 42380
↖ ↑ ↗
← N 53.520717°
E117.122498°		 ← 181.59 m → N 53.520717°
E117.125244°		 →
↑
181.64 m
↓
↑
181.64 m
↓
N 53.519084°
E117.122498°		 ← 181.59 m →
32 983 m²		 N 53.519084°
E117.125244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825344085693359 y=0.323337554931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825344085693359 × 217)
    floor (0.825344085693359 × 131072)
    floor (108179.5)     		tx = 108179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323337554931641 × 217)
    floor (0.323337554931641 × 131072)
    floor (42380.5)     		ty = 42380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108179 / 42380 ti = "17/108179/42380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108179/42380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108179 ÷ 217
    108179 ÷ 131072     		x = 0.825340270996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42380 ÷ 217
    42380 ÷ 131072     		y = 0.323333740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825340270996094 × 2 - 1) × π
    0.650680541992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.04417321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323333740234375 × 2 - 1) × π
    0.35333251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11002684760202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04417321} λ = 2.04417321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11002684760202))-π/2
    2×atan(3.03443986077582)-π/2
    2×1.25245452603636-π/2
    2.50490905207273-1.57079632675     		φ = 0.93411273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04417321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.122498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93411273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.520717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108179 KachelY 42380 2.04417321 0.93411273 117.122498 53.520717
    Oben rechts KachelX + 1 108180 KachelY 42380 2.04422115 0.93411273 117.125244 53.520717
    Unten links KachelX 108179 KachelY + 1 42381 2.04417321 0.93408422 117.122498 53.519084
    Unten rechts KachelX + 1 108180 KachelY + 1 42381 2.04422115 0.93408422 117.125244 53.519084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93411273-0.93408422) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dl = 181.637209999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93411273-0.93408422) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dr = 181.637209999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04417321-2.04422115) × cos(0.93411273) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594532089163247 × 6371000     		do = 181.585403286312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04417321-2.04422115) × cos(0.93408422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594555013011038 × 6371000     		du = 181.592404819487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93411273)-sin(0.93408422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594532089163247-0.594555013011038)×R²
    abs(2.04422115-2.04417321)×2.29238477914562e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29238477914562e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29238477914562e-05×40589641000000     		ar = 32983.3019013292m²