Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108178 / 100173
↖ ↑ ↗
← S 68.476903°
E117.119751°		 ← 112.05 m → S 68.476903°
E117.122498°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
S 68.477910°
E117.119751°		 ← 112.05 m →
12 550 m²		 S 68.477910°
E117.122498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825336456298828 y=0.764263153076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825336456298828 × 217)
    floor (0.825336456298828 × 131072)
    floor (108178.5)     		tx = 108178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764263153076172 × 217)
    floor (0.764263153076172 × 131072)
    floor (100173.5)     		ty = 100173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108178 / 100173 ti = "17/108178/100173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108178/100173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108178 ÷ 217
    108178 ÷ 131072     		x = 0.825332641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100173 ÷ 217
    100173 ÷ 131072     		y = 0.764259338378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825332641601562 × 2 - 1) × π
    0.650665283203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04412527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764259338378906 × 2 - 1) × π
    -0.528518676757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.66039039213989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04412527} λ = 2.04412527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66039039213989))-π/2
    2×atan(0.190064765825481)-π/2
    2×0.187824455012964-π/2
    0.375648910025927-1.57079632675     		φ = -1.19514742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04412527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.119751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19514742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.476903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108178 KachelY 100173 2.04412527 -1.19514742 117.119751 -68.476903
    Oben rechts KachelX + 1 108179 KachelY 100173 2.04417321 -1.19514742 117.122498 -68.476903
    Unten links KachelX 108178 KachelY + 1 100174 2.04412527 -1.19516500 117.119751 -68.477910
    Unten rechts KachelX + 1 108179 KachelY + 1 100174 2.04417321 -1.19516500 117.122498 -68.477910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19514742--1.19516500) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19514742--1.19516500) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04412527-2.04417321) × cos(-1.19514742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366876264647213 × 6371000     		do = 112.053454618237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04412527-2.04417321) × cos(-1.19516500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366859910448329 × 6371000     		du = 112.048459624941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19514742)-sin(-1.19516500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366876264647213-0.366859910448329)×R²
    abs(2.04417321-2.04412527)×1.63541988842941e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63541988842941e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63541988842941e-05×40589641000000     		ar = 12549.9514690763m²