Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108166 / 42372
↖ ↑ ↗
← N 53.533778°
E117.086792°		 ← 181.53 m → N 53.533778°
E117.089539°		 →
↑
181.51 m
↓
↑
181.51 m
↓
N 53.532146°
E117.086792°		 ← 181.54 m →
32 950 m²		 N 53.532146°
E117.089539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825244903564453 y=0.323276519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825244903564453 × 217)
    floor (0.825244903564453 × 131072)
    floor (108166.5)     		tx = 108166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323276519775391 × 217)
    floor (0.323276519775391 × 131072)
    floor (42372.5)     		ty = 42372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108166 / 42372 ti = "17/108166/42372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108166/42372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108166 ÷ 217
    108166 ÷ 131072     		x = 0.825241088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42372 ÷ 217
    42372 ÷ 131072     		y = 0.323272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825241088867188 × 2 - 1) × π
    0.650482177734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04355003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323272705078125 × 2 - 1) × π
    0.35345458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11041034279898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04355003} λ = 2.04355003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11041034279898))-π/2
    2×atan(3.03560377705178)-π/2
    2×1.25256850856182-π/2
    2.50513701712364-1.57079632675     		φ = 0.93434069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04355003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.086792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93434069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.533778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108166 KachelY 42372 2.04355003 0.93434069 117.086792 53.533778
    Oben rechts KachelX + 1 108167 KachelY 42372 2.04359797 0.93434069 117.089539 53.533778
    Unten links KachelX 108166 KachelY + 1 42373 2.04355003 0.93431220 117.086792 53.532146
    Unten rechts KachelX + 1 108167 KachelY + 1 42373 2.04359797 0.93431220 117.089539 53.532146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93434069-0.93431220) × R
    2.84899999999366e-05 × 6371000     		dl = 181.509789999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93434069-0.93431220) × R
    2.84899999999366e-05 × 6371000     		dr = 181.509789999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04355003-2.04359797) × cos(0.93434069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594348777490457 × 6371000     		do = 181.529415182999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04355003-2.04359797) × cos(0.93431220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594371689117865 × 6371000     		du = 181.536412983755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93434069)-sin(0.93431220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594348777490457-0.594371689117865)×R²
    abs(2.04359797-2.04355003)×2.29116274081953e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29116274081953e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29116274081953e-05×40589641000000     		ar = 32950.0011155771m²