Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108159 / 47488
↖ ↑ ↗
← N 44.339565°
E117.067566°		 ← 218.44 m → N 44.339565°
E117.070313°		 →
↑
218.40 m
↓
↑
218.40 m
↓
N 44.337601°
E117.067566°		 ← 218.45 m →
47 708 m²		 N 44.337601°
E117.070313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825191497802734 y=0.362308502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825191497802734 × 217)
    floor (0.825191497802734 × 131072)
    floor (108159.5)     		tx = 108159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362308502197266 × 217)
    floor (0.362308502197266 × 131072)
    floor (47488.5)     		ty = 47488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108159 / 47488 ti = "17/108159/47488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108159/47488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108159 ÷ 217
    108159 ÷ 131072     		x = 0.825187683105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47488 ÷ 217
    47488 ÷ 131072     		y = 0.3623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825187683105469 × 2 - 1) × π
    0.650375366210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.04321447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3623046875 × 2 - 1) × π
    0.275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.865165164342773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04321447} λ = 2.04321447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.865165164342773))-π/2
    2×atan(2.37539838469237)-π/2
    2×1.17233386462968-π/2
    2.34466772925936-1.57079632675     		φ = 0.77387140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04321447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.067566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77387140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.339565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108159 KachelY 47488 2.04321447 0.77387140 117.067566 44.339565
    Oben rechts KachelX + 1 108160 KachelY 47488 2.04326241 0.77387140 117.070313 44.339565
    Unten links KachelX 108159 KachelY + 1 47489 2.04321447 0.77383712 117.067566 44.337601
    Unten rechts KachelX + 1 108160 KachelY + 1 47489 2.04326241 0.77383712 117.070313 44.337601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77387140-0.77383712) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dl = 218.397879999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77387140-0.77383712) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dr = 218.397879999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04321447-2.04326241) × cos(0.77387140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715210278458376 × 6371000     		do = 218.443628553612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04321447-2.04326241) × cos(0.77383712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715234236650123 × 6371000     		du = 218.450946002056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77387140)-sin(0.77383712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715210278458376-0.715234236650123)×R²
    abs(2.04326241-2.04321447)×2.39581917470533e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39581917470533e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39581917470533e-05×40589641000000     		ar = 47708.4244377165m²