Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108154 / 47818
↖ ↑ ↗
← N 43.687736°
E117.053833°		 ← 220.81 m → N 43.687736°
E117.056579°		 →
↑
220.82 m
↓
↑
220.82 m
↓
N 43.685750°
E117.053833°		 ← 220.82 m →
48 760 m²		 N 43.685750°
E117.056579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825153350830078 y=0.364826202392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825153350830078 × 217)
    floor (0.825153350830078 × 131072)
    floor (108154.5)     		tx = 108154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364826202392578 × 217)
    floor (0.364826202392578 × 131072)
    floor (47818.5)     		ty = 47818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108154 / 47818 ti = "17/108154/47818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108154/47818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108154 ÷ 217
    108154 ÷ 131072     		x = 0.825149536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47818 ÷ 217
    47818 ÷ 131072     		y = 0.364822387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825149536132812 × 2 - 1) × π
    0.650299072265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04297479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364822387695312 × 2 - 1) × π
    0.270355224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.849345987468155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04297479} λ = 2.04297479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.849345987468155))-π/2
    2×atan(2.33811719382705)-π/2
    2×1.1666455800088-π/2
    2.3332911600176-1.57079632675     		φ = 0.76249483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04297479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.053833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76249483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.687736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108154 KachelY 47818 2.04297479 0.76249483 117.053833 43.687736
    Oben rechts KachelX + 1 108155 KachelY 47818 2.04302272 0.76249483 117.056579 43.687736
    Unten links KachelX 108154 KachelY + 1 47819 2.04297479 0.76246017 117.053833 43.685750
    Unten rechts KachelX + 1 108155 KachelY + 1 47819 2.04302272 0.76246017 117.056579 43.685750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76249483-0.76246017) × R
    3.46599999999642e-05 × 6371000     		dl = 220.818859999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76249483-0.76246017) × R
    3.46599999999642e-05 × 6371000     		dr = 220.818859999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04297479-2.04302272) × cos(0.76249483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.723115014882413 × 6371000     		do = 220.811868868109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04297479-2.04302272) × cos(0.76246017) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.723138955068131 × 6371000     		du = 220.819179291818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76249483)-sin(0.76246017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723115014882413-0.723138955068131)×R²
    abs(2.04302272-2.04297479)×2.39401857179411e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39401857179411e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39401857179411e-05×40589641000000     		ar = 48760.2323024608m²