Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108152 / 100250
↖ ↑ ↗
← S 68.554360°
E117.048340°		 ← 111.67 m → S 68.554360°
E117.051086°		 →
↑
111.62 m
↓
↑
111.62 m
↓
S 68.555363°
E117.048340°		 ← 111.66 m →
12 464 m²		 S 68.555363°
E117.051086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825138092041016 y=0.764850616455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825138092041016 × 217)
    floor (0.825138092041016 × 131072)
    floor (108152.5)     		tx = 108152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764850616455078 × 217)
    floor (0.764850616455078 × 131072)
    floor (100250.5)     		ty = 100250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108152 / 100250 ti = "17/108152/100250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108152/100250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108152 ÷ 217
    108152 ÷ 131072     		x = 0.82513427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100250 ÷ 217
    100250 ÷ 131072     		y = 0.764846801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82513427734375 × 2 - 1) × π
    0.6502685546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04287891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764846801757812 × 2 - 1) × π
    -0.529693603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66408153341063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04287891} λ = 2.04287891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66408153341063))-π/2
    2×atan(0.189364503103606)-π/2
    2×0.187148520314899-π/2
    0.374297040629798-1.57079632675     		φ = -1.19649929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04287891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.048340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19649929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.554360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108152 KachelY 100250 2.04287891 -1.19649929 117.048340 -68.554360
    Oben rechts KachelX + 1 108153 KachelY 100250 2.04292685 -1.19649929 117.051086 -68.554360
    Unten links KachelX 108152 KachelY + 1 100251 2.04287891 -1.19651681 117.048340 -68.555363
    Unten rechts KachelX + 1 108153 KachelY + 1 100251 2.04292685 -1.19651681 117.051086 -68.555363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19649929--1.19651681) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dl = 111.619920000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19649929--1.19651681) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dr = 111.619920000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04287891-2.04292685) × cos(-1.19649929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365618326021535 × 6371000     		do = 111.669247782615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04287891-2.04292685) × cos(-1.19651681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365602018964933 × 6371000     		du = 111.664267187786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19649929)-sin(-1.19651681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365618326021535-0.365602018964933)×R²
    abs(2.04292685-2.04287891)×1.63070566016055e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63070566016055e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63070566016055e-05×40589641000000     		ar = 12464.2345376797m²