Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108151 / 46459
↖ ↑ ↗
← N 46.326068°
E117.045593°		 ← 210.87 m → N 46.326068°
E117.048340°		 →
↑
210.88 m
↓
↑
210.88 m
↓
N 46.324172°
E117.045593°		 ← 210.88 m →
44 469 m²		 N 46.324172°
E117.048340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825130462646484 y=0.354457855224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825130462646484 × 217)
    floor (0.825130462646484 × 131072)
    floor (108151.5)     		tx = 108151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354457855224609 × 217)
    floor (0.354457855224609 × 131072)
    floor (46459.5)     		ty = 46459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108151 / 46459 ti = "17/108151/46459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108151/46459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108151 ÷ 217
    108151 ÷ 131072     		x = 0.825126647949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46459 ÷ 217
    46459 ÷ 131072     		y = 0.354454040527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825126647949219 × 2 - 1) × π
    0.650253295898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.04283098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354454040527344 × 2 - 1) × π
    0.291091918945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.914492234051811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04283098} λ = 2.04283098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.914492234051811))-π/2
    2×atan(2.49550779626433)-π/2
    2×1.18966937416002-π/2
    2.37933874832004-1.57079632675     		φ = 0.80854242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04283098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.045593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80854242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.326068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108151 KachelY 46459 2.04283098 0.80854242 117.045593 46.326068
    Oben rechts KachelX + 1 108152 KachelY 46459 2.04287891 0.80854242 117.048340 46.326068
    Unten links KachelX 108151 KachelY + 1 46460 2.04283098 0.80850932 117.045593 46.324172
    Unten rechts KachelX + 1 108152 KachelY + 1 46460 2.04287891 0.80850932 117.048340 46.324172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80854242-0.80850932) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dl = 210.880100000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80854242-0.80850932) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dr = 210.880100000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04283098-2.04287891) × cos(0.80854242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.690553406644367 × 6371000     		do = 210.868790076468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04283098-2.04287891) × cos(0.80850932) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.69057734688062 × 6371000     		du = 210.876100515609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80854242)-sin(0.80850932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690553406644367-0.69057734688062)×R²
    abs(2.04287891-2.04283098)×2.39402362526286e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39402362526286e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39402362526286e-05×40589641000000     		ar = 44468.8023553296m²