Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10815 / 6079
↖ ↑ ↗
← N 81.148326°
W120.591430°		 ← 93.99 m → N 81.148326°
W120.585937°		 →
↑
93.97 m
↓
↑
93.97 m
↓
N 81.147481°
W120.591430°		 ← 94 m →
8 833 m²		 N 81.147481°
W120.585937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165031433105469 y=0.0927658081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165031433105469 × 216)
    floor (0.165031433105469 × 65536)
    floor (10815.5)     		tx = 10815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0927658081054688 × 216)
    floor (0.0927658081054688 × 65536)
    floor (6079.5)     		ty = 6079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10815 / 6079 ti = "16/10815/6079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10815/6079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10815 ÷ 216
    10815 ÷ 65536     		x = 0.165023803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6079 ÷ 216
    6079 ÷ 65536     		y = 0.0927581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165023803710938 × 2 - 1) × π
    -0.669952392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.10471751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0927581787109375 × 2 - 1) × π
    0.814483642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55877582791936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10471751} λ = -2.10471751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55877582791936))-π/2
    2×atan(12.9199913379814)-π/2
    2×1.49355089912975-π/2
    2.9871017982595-1.57079632675     		φ = 1.41630547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10471751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.591430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41630547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.148326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10815 KachelY 6079 -2.10471751 1.41630547 -120.591430 81.148326
    Oben rechts KachelX + 1 10816 KachelY 6079 -2.10462164 1.41630547 -120.585937 81.148326
    Unten links KachelX 10815 KachelY + 1 6080 -2.10471751 1.41629072 -120.591430 81.147481
    Unten rechts KachelX + 1 10816 KachelY + 1 6080 -2.10462164 1.41629072 -120.585937 81.147481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41630547-1.41629072) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dl = 93.9722500004034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41630547-1.41629072) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dr = 93.9722500004034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10471751--2.10462164) × cos(1.41630547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15387703994569 × 6371000     		do = 93.9862140826269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10471751--2.10462164) × cos(1.41629072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153891614256514 × 6371000     		du = 93.9951158934343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41630547)-sin(1.41629072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15387703994569-0.153891614256514)×R²
    abs(-2.10462164--2.10471751)×1.45743108238838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45743108238838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45743108238838e-05×40589641000000     		ar = 8832.51426808341m²