Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10815 / 5572
↖ ↑ ↗
← N 81.566746°
W120.591430°		 ← 89.58 m → N 81.566746°
W120.585937°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
N 81.565941°
W120.591430°		 ← 89.58 m →
8 024 m²		 N 81.565941°
W120.585937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165031433105469 y=0.0850296020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165031433105469 × 216)
    floor (0.165031433105469 × 65536)
    floor (10815.5)     		tx = 10815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0850296020507812 × 216)
    floor (0.0850296020507812 × 65536)
    floor (5572.5)     		ty = 5572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10815 / 5572 ti = "16/10815/5572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10815/5572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10815 ÷ 216
    10815 ÷ 65536     		x = 0.165023803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5572 ÷ 216
    5572 ÷ 65536     		y = 0.08502197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165023803710938 × 2 - 1) × π
    -0.669952392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.10471751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08502197265625 × 2 - 1) × π
    0.8299560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.60738384413409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10471751} λ = -2.10471751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60738384413409))-π/2
    2×atan(13.5635201124155)-π/2
    2×1.4972023055131-π/2
    2.9944046110262-1.57079632675     		φ = 1.42360828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10471751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.591430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42360828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.566746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10815 KachelY 5572 -2.10471751 1.42360828 -120.591430 81.566746
    Oben rechts KachelX + 1 10816 KachelY 5572 -2.10462164 1.42360828 -120.585937 81.566746
    Unten links KachelX 10815 KachelY + 1 5573 -2.10471751 1.42359422 -120.591430 81.565941
    Unten rechts KachelX + 1 10816 KachelY + 1 5573 -2.10462164 1.42359422 -120.585937 81.565941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42360828-1.42359422) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dl = 89.5762600002417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42360828-1.42359422) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dr = 89.5762600002417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10471751--2.10462164) × cos(1.42360828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146657167326687 × 6371000     		do = 89.5764041859823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10471751--2.10462164) × cos(1.42359422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146671075286772 × 6371000     		du = 89.5848989979075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42360828)-sin(1.42359422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146657167326687-0.146671075286772)×R²
    abs(-2.10462164--2.10471751)×1.39079600844361e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39079600844361e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39079600844361e-05×40589641000000     		ar = 8024.29973810559m²