Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108145 / 46457
↖ ↑ ↗
← N 46.329862°
E117.029114°		 ← 210.85 m → N 46.329862°
E117.031860°		 →
↑
210.94 m
↓
↑
210.94 m
↓
N 46.327965°
E117.029114°		 ← 210.86 m →
44 479 m²		 N 46.327965°
E117.031860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825084686279297 y=0.354442596435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825084686279297 × 217)
    floor (0.825084686279297 × 131072)
    floor (108145.5)     		tx = 108145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354442596435547 × 217)
    floor (0.354442596435547 × 131072)
    floor (46457.5)     		ty = 46457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108145 / 46457 ti = "17/108145/46457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108145/46457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108145 ÷ 217
    108145 ÷ 131072     		x = 0.825080871582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46457 ÷ 217
    46457 ÷ 131072     		y = 0.354438781738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825080871582031 × 2 - 1) × π
    0.650161743164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.04254336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354438781738281 × 2 - 1) × π
    0.291122436523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.914588107851051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04254336} λ = 2.04254336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.914588107851051))-π/2
    2×atan(2.49574706154724)-π/2
    2×1.18970247600156-π/2
    2.37940495200313-1.57079632675     		φ = 0.80860863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04254336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.029114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80860863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.329862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108145 KachelY 46457 2.04254336 0.80860863 117.029114 46.329862
    Oben rechts KachelX + 1 108146 KachelY 46457 2.04259129 0.80860863 117.031860 46.329862
    Unten links KachelX 108145 KachelY + 1 46458 2.04254336 0.80857552 117.029114 46.327965
    Unten rechts KachelX + 1 108146 KachelY + 1 46458 2.04259129 0.80857552 117.031860 46.327965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80860863-0.80857552) × R
    3.31100000000584e-05 × 6371000     		dl = 210.943810000372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80860863-0.80857552) × R
    3.31100000000584e-05 × 6371000     		dr = 210.943810000372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04254336-2.04259129) × cos(0.80860863) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.690505516668885 × 6371000     		do = 210.854166296339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04254336-2.04259129) × cos(0.80857552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.690529465651537 × 6371000     		du = 210.861479406298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80860863)-sin(0.80857552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690505516668885-0.690529465651537)×R²
    abs(2.04259129-2.04254336)×2.39489826520112e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39489826520112e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39489826520112e-05×40589641000000     		ar = 44479.1525247303m²