Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108145 / 100305
↖ ↑ ↗
← S 68.609523°
E117.029114°		 ← 111.37 m → S 68.609523°
E117.031860°		 →
↑
111.37 m
↓
↑
111.37 m
↓
S 68.610524°
E117.029114°		 ← 111.37 m →
12 403 m²		 S 68.610524°
E117.031860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825084686279297 y=0.765270233154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825084686279297 × 217)
    floor (0.825084686279297 × 131072)
    floor (108145.5)     		tx = 108145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765270233154297 × 217)
    floor (0.765270233154297 × 131072)
    floor (100305.5)     		ty = 100305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108145 / 100305 ti = "17/108145/100305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108145/100305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108145 ÷ 217
    108145 ÷ 131072     		x = 0.825080871582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100305 ÷ 217
    100305 ÷ 131072     		y = 0.765266418457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825080871582031 × 2 - 1) × π
    0.650161743164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.04254336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765266418457031 × 2 - 1) × π
    -0.530532836914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.66671806288973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04254336} λ = 2.04254336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66671806288973))-π/2
    2×atan(0.188865895594407)-π/2
    2×0.186667129542785-π/2
    0.373334259085571-1.57079632675     		φ = -1.19746207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04254336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.029114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19746207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.609523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108145 KachelY 100305 2.04254336 -1.19746207 117.029114 -68.609523
    Oben rechts KachelX + 1 108146 KachelY 100305 2.04259129 -1.19746207 117.031860 -68.609523
    Unten links KachelX 108145 KachelY + 1 100306 2.04254336 -1.19747955 117.029114 -68.610524
    Unten rechts KachelX + 1 108146 KachelY + 1 100306 2.04259129 -1.19747955 117.031860 -68.610524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19746207--1.19747955) × R
    1.74799999999031e-05 × 6371000     		dl = 111.365079999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19746207--1.19747955) × R
    1.74799999999031e-05 × 6371000     		dr = 111.365079999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04254336-2.04259129) × cos(-1.19746207) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.364722034906188 × 6371000     		do = 111.372260964753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04254336-2.04259129) × cos(-1.19747955) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.364705758934981 × 6371000     		du = 111.367290901144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19746207)-sin(-1.19747955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364722034906188-0.364705758934981)×R²
    abs(2.04259129-2.04254336)×1.62759712072913e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62759712072913e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62759712072913e-05×40589641000000     		ar = 12402.704006661m²